Ricci hesabı

Matematikte Ricci hesabı tensörler ve tensör alanları için indis notasyonu ve manipülasyon kurallarını oluşturmaktadır.^[1][2][3] Bunun ayrıca 1887–96 içinde daha sonraki bir yazıda Gregorio Ricci-Curbastro tarafından geliştirilen, mutlak diferansiyel hesabı (tensor hesabının temeli) popüler olarak kullanılan modern adıdır ^[4] 1900 yılında onun öğrencisi(gözbebeği) Tullio Levi - Civita tarafından yazılmıştır.

Jan Arnoldus Schouten, modern gösterim ve formalizmini geliştirilen bu matematiksel çerçeve için ve yirminci yüzyılın genel görelilik ve diferansiyel geometri uygulamaları sırasında, teorisine katkılarda bulundu.^[5] Bir tensörün bir bileşeni tensör uzayı için bir temel ögenin katsayısı olarak kullanılan bir gerçek sayıdır.Tensor taban ögeleri ile bileşenlerin çarpımıdır. Tensorler ve tensör alanları burada bileşenlerinin terimleri içinde ifade edilebilir, ve tensörler ve tensör alanları üzerindeki operasyonlar bu bileşenler üzerinde işlemlerin terimleri içinde ifade edilebilir.Buradaki bileşenlerin terimleri içinde bunun üzerinde tensor alanlarının ve işlemlerin tanıtımı Ricci hesabının odağıdır. Bu gösterim tensör alanları ve işlemlerin en etkin ifadelerini sağlar. Böyleyken gösterimin birçok herhangi tensörleri ile uygulanabilir, bir diferansiyel yapıya ilişik işlemler yalnızca tensör alanlarına uygulanabilir.Burada gereken özellikle çokboyutlu dizilerin tensör-olmayanların bileşenlerine bağlanan gösterimdir.

Bir vektör ve eşvektör tabanlı ögelerin tensör çarpımının bir doğrusal toplamı olarak ifade edilebilir. tensör bileşenlerinin sonuçları tabanın indisleri ile etiketlenir.Her indis vektör uzayı altında yatanın tek olası değerli iki boyutu vardı.İndislerinin sayısı tensörün sırasına eşittir. Kompakt ve kolaylık sağlamak için, gösterimsel kural bir terim içinde ve tekrarlanan indisler üzerinde toplanır evrensel sayısallaştırma serbest indisleri üzerinde (olanlar bu yüzden özetlenebilir değil) özellikle bu, bazı şeyleri ima eder.Genel olarak Ricci hesabın gösteriminde ifadeler genellikle daha spesifik manifoldu üzerindeki koordinat fonksiyonları olarak, bir manifold üzerinde fonksiyonları olarak bileşenler ile eşzamanlı denklemler kümesi olarak yorumlanabilir. Bu kurallar sadece sınırlı bir kümenin aşinalık ifadelerinin sezgisel bir düzenlemesini sağlar.

İndisler için gösterim

Ayrıca bakınız: indis gösterimi

Taban ile ilgili ayrımlar

Ayrık-uzay zaman

Bir ayrık uzaysal temel unsurlar ve klasik fiziğin dört-boyutlu uzay-zamanda zaman benzeri bir öge arasında yapılacak olanlar aşağıdaki gibidir, bu geleneksel indisler aracılığıyla yapılır:^[6]

• küçük latin alfabesi a, b, c... 3-boyutlu Öklid uzayı'yla ayrık sınır kullanılıyor, bunun boşluk bileşenleri için 1, 2, 3 değerleri alınır; ve zamansal-öge, 0 ile ayrılır, ayrı ayrı gösterilir.
• küçük yunan alfabesi α, β, γ... 4-boyutlu uzay-zaman için kullanılıyor, bunun tipik zaman bileşenleri için 0 değeri ve boşluk bileşenleri için 1, 2, 3 alinir.

Bazı kaynaklar zamana karşılık indis değerler olarak 0'ın yerine 4 kullanıyor ;bu yazılar içinde 0 kullanılıyor. diğer yandan,genel matematiksel kavramlar içinde, herhangi semboller indisler için kullanılabiliyor, genellikle vektör uzayının tüm boyutları üzerinde koşuyor.

Koordinate ve indis gösterimi

Yazar(lar) genellikle belli olarak yapılacak bir alt indis bir indis olarak veya bir etiket olarak isteniyor.

örneğin,3-D içinde öklidyen uzay ve Kartezyen koordinatlar kullanılıyor;koordinat vektör A = (A₁, A₂, A₃) = (A_x, A_y, A_z) 1, 2, 3 altindisleri ve x, y, z etiketleri arasında doğrudan bir karşılıklılık gösterir. A_i ifadesi içinde, i 1, 2, 3 değerleri üzerinde bir indis arasında değişen olarak yorumlanıyor, öyleki x, y, z altsimgeleri değişen indisler değil, bileşenler için "isim" daha isim gibidir. uzayzamanın kavramları içinde, 0 indis değeri t etiketine karşılık gelir.

Koordinat sistemlerine başvuru

Indisler , bir şapka (^), çubuk (^–), yaklaşık (^~), veya tırnak (′) seklinde olabilir.

${\displaystyle X_{\hat {\phi }}\,,Y_{\bar {\lambda }}\,,Z_{\tilde {\eta }}\,,T_{\mu '}\cdots }$

ifadesinde olası bir farklı taban (ve bundan dolayı koordinat sistemi) bu indis için etiketleme belirteç-gibi semboller kullanabilir.Diğerine bir örnek olarak tek referans çerçevesinden Lorentz dönüşümüne'dir, burada tek çerçeve üssüz ve diğeri üslü olabilir:

${\displaystyle v^{\mu '}=v^{\nu }L_{\nu }{}^{\mu '}.}$ içindedir

Bu spinörler van der Waerden gösterimi ile karıştırılmamalıdır, burada bir spinörün kiralite yansımasında şapkalar ve indisleri üzerindeki noktalar kullanılıyor .

Eşdeğişken tensör bileşenleri

Bir alt indis (altsimge) ve bu indisin sırali bileşenlerinin eşdeğişir indisleri: ${\displaystyle A_{\alpha \beta \gamma \cdots }}$

Karşıtdeğişken tensör bileşenleri

Bir üst indis (üstsimge) ve bu indisin sırali bileşenlerin karşıtdeğişir indisleri: ${\displaystyle A^{\alpha \beta \gamma \cdots }}$

Karışık-değişken tensör bileşenleri

Bir tensörün hem üst ve hem alt indisleri olmalidir: ${\displaystyle A_{\alpha }{}^{\beta }{}_{\gamma }{}^{\delta \cdots }}$

Toplam

İki indis (tek üst ve tek alt) ile bir terim içinde aynı sembol üzerinde özetlenebilir: ${\displaystyle A_{\alpha }B^{\alpha }\equiv \sum _{\alpha }A_{\alpha }B^{\alpha }}$ or ${\displaystyle A^{\alpha }B_{\alpha }\equiv \sum _{\alpha }A^{\alpha }B_{\alpha }\,.}$

İşlem tensör büzülmesi için bir toplam ile vurgulaniyor:

${\displaystyle A_{\alpha }B^{\beta }\rightarrow A_{\alpha }B^{\alpha }\equiv \sum _{\alpha }A_{\alpha }B^{\alpha }\,.}$

Daha ötesi tek indis iki kere oluşabilir, ama yalnızca iki kez tek terim içinde, örneğin:

${\displaystyle A_{\alpha }{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{\gamma }{}^{\beta }\equiv \sum _{\alpha }\sum _{\gamma }A_{\alpha }{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{\gamma }{}^{\beta }\,.}$

Eş-olmayan için,

${\displaystyle A_{\alpha \gamma }{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{\gamma }{}^{\beta }\not \equiv \sum _{\alpha }\sum _{\gamma }A_{\alpha \gamma }{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{\gamma }{}^{\beta }\,}$

iyi bir biçimlendirilme degildir, yani, anlamsızdir.

Çoklu-indis gösterimi

Eğer bir tensörün tüm üst veya alt indislerinin bir listesi varsa, özet bir liste için büyük harf kullanılıyor:^[7]

${\displaystyle A_{i_{1}\cdots i_{n}}B^{i_{1}\cdots i_{n}j_{1}\cdots j_{m}}C_{j_{1}\cdots j_{m}}\equiv A_{I}B^{IJ}C_{J}}$

burada I = i₁ i₂ ... i_n ve J = j₁ j₂ ... j_m.

Dizisel toplam

İki dik çubuklarin | | indislerin bir kümesi çevresinde (bir büzülme ile):^[8]

${\displaystyle A_{|\alpha \beta \gamma |\cdots }B^{\alpha \beta \gamma \cdots }=\sum _{\alpha }\sum _{\beta }\sum _{\gamma }A_{\alpha \beta \gamma \cdots }B^{\alpha \beta \gamma \cdots }}$

toplam ifadesi bu bir önceki indis içinde (ve yerleşik değil)bitiş indisinin değerine kadar sayılır:

${\displaystyle \alpha <\beta <\gamma \,.}$

Yalnızca tek indislerin tekrarlı kümesinin grubu dik çubuklar çevresinde yer alir. (diğer büzülmüş indisler değil). Tek grup haricindekiler söyle özetlenebilir:

${\displaystyle A_{|\alpha \beta \gamma |}{}^{|\delta \epsilon \cdots \lambda |}B^{\alpha \beta \gamma }{}_{\delta \epsilon \cdots \lambda |\mu \nu \cdots \zeta |}C^{\mu \nu \cdots \zeta }=\sum _{\alpha }\sum _{\beta }\sum _{\gamma }\sum _{\delta }\sum _{\epsilon }\cdots \sum _{\lambda }\sum _{\mu }\sum _{\nu }\cdots \sum _{\zeta }A_{\alpha \beta \gamma }{}^{\delta \epsilon \cdots \lambda }B^{\alpha \beta \gamma }{}_{\delta \epsilon \cdots \lambda \mu \nu \cdots \zeta }C^{\mu \nu \cdots \zeta }}$

burada

${\displaystyle \alpha <\beta <\gamma \,,\quad \delta <\epsilon <\cdots <\lambda \,,\quad \mu <\nu \cdots <\zeta \,.}$

Bu bazı toplamlar içinde aşırı sayımı önlemek yararlıdır , o zaman tensörler ya simetrik veya antisimetriktir.

karşıt olarak,büyük harf geleneksel çoklu-indis için kullanılıyor, bir alt ok bu indislerin blokları altında yerleşir:^[9]

${\displaystyle A_{\underset {\rightharpoondown }{P}}{}^{\underset {\rightharpoondown }{Q}}B^{P}{}_{Q{\underset {\rightharpoondown }{R}}}C^{R}=\sum _{\underset {\rightharpoondown }{P}}\sum _{\underset {\rightharpoondown }{Q}}\sum _{\underset {\rightharpoondown }{R}}A_{P}{}^{Q}B^{P}{}_{QR}C^{R}}$

burada

${\displaystyle {\underset {\rightharpoondown }{P}}=|\alpha \beta \gamma |\,,\quad {\underset {\rightharpoondown }{Q}}=|\delta \epsilon \cdots \lambda |\,,\quad {\underset {\rightharpoondown }{R}}=|\mu \nu \cdots \zeta |}$

Indisleri üst ve alt

Tekil olmayan bir indisin büzülmesi bir metrik tensör ile, bir tensörün tipi değişebilir, bir alt bir üst indis veya tersine dönüştürülüyor:

${\displaystyle B^{\gamma }{}_{\beta \cdots }=g^{\gamma \alpha }A_{\alpha \beta \cdots }}$ ve ${\displaystyle A_{\alpha \beta \cdots }=g_{\alpha \gamma }B^{\gamma }{}_{\beta \cdots }}$

Taban sembol birçok durumlar için korunuyor(yani kulanılan A , B burada görüntülenir), ve o zaman burada belirsizlik yoktur,işleme alınan bir indis vurgulanarak yeniden konumlandırılmalıdır .

Ayrıca bakınız

• Regge hesabı
• Tensor (iç tanım), Kısım: Taban
• Holonomik taban
• Dış cebir
• Dış hesap
• Diferansiyel form
• Hodge ikilisi
• Penrose grafiksel gösterimi
• Ricci bozunumu

Kaynakça

1. Synge J.L., Schild A. (1949). Tensor Calculus. first Dover Publications 1978 edition. s. 6–108. 
2. J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne (1973). Gravitation. W.H. Freeman & Co. s. 85–86, §3.5. ISBN 0-7167-0344-0. 
3. R. Penrose (2007). The Road to Reality. Vintage books. ISBN 0-679-77631-1. 
4. Ricci, Gregorio; Levi-Civita, Tullio (March 1900), "Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications", Mathematische Annalen (Springer) 54 (1–2): 125–201, DOI:10.1007/BF01454201, http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0054&DMDID=DMDLOG_0011&L=1 
5. Schouten, Jan A. (1924). R. Courant. ed (german). Der Ricci-Kalkül – Eine Einführung in die neueren Methoden und Probleme der mehrdimensionalen Differentialgeometrie (Ricci Calculus – An introduction in the latest methods and problems in multi-dimmensional differential geometry). Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 10. Berlin: Springer Verlag. http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN373339186. 
6. C. Møller (1952), The Theory of Relativity, ss. 234  is an example of a variation: 'Greek indices run from 1 to 3, Latin indices from 1 to 4'
7. T. Frankel (2012), The Geometry of Physics (3rd bas.), Cambridge University Press, ss. 67, ISBN 978-1107-602601 
8. Gravitation, J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne, W.H. Freeman & Co, 1973, ISBN 0-7167-0344-0
9. T. Frankel (2012), The Geometry of Physics (3rd bas.), Cambridge University Press, ss. 67, ISBN 978-1107-602601 

Kitaplar

• Bishop, R.L.; Goldberg, S.I. (1968), Tensor Analysis on Manifolds (First Dover 1980 bas.), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6 
• Danielson, Donald A. (2003). Vectors and Tensors in Engineering and Physics (2/e bas.). Westview (Perseus). ISBN 978-0-8133-4080-7. 
• Dimitrienko, Yuriy (2002). Tensor Analysis and Nonlinear Tensor Functions. Kluwer Academic Publishers (Springer). ISBN 1-4020-1015-X. http://books.google.com/books?as_isbn=140201015X. 
• Lovelock, David; Hanno Rund (1989) [1975]. Tensors, Differential Forms, and Variational Principles. Dover. ISBN 978-0-486-65840-7. 
• C. Møller (1952), The Theory of Relativity (3rd bas.), Oxford University Press, http://archive.org/details/theoryofrelativi029229mbp 
• Synge J.L., Schild A. (1949). Tensor Calculus. first Dover Publications 1978 edition. ISBN 978-0-486-63612-2. 
• J.R. Tyldesley (1975), An introduction to Tensor Analysis: For Engineers and Applied Scientists, Longman, ISBN 0-582-44355-5 
• D.C. Kay (1988), Tensor Calculus, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), ISBN 0-07-033484-6 
• T. Frankel (2012), The Geometry of Physics (3rd bas.), Cambridge University Press, ISBN 978-1107-602601 

Şablon:Tensors