Sihirli kare

${\displaystyle nxn}$ boyutlu (${\displaystyle n>2}$) öyle bir kare matris düşünün ki, istenilen satır, sütun ve köşegenler boyunca elemanların toplamı sabit olsun. Bu sabite sihirli sabit denir.^[1]

Matris elemanları, değerlerini tekrarlamamak koşulu ile ${\displaystyle \{1,2,...,n^{2}\}}$ kümesinden almaktadır.

Verilen n sayısına göre, sihirli sabit:

${\displaystyle S={\frac {n(n^{2}+1)}{2}}}$

formülü ile hesaplanır. Örneğin ${\displaystyle n=3}$ için sihirli sabit: ${\displaystyle S=3(3^{2}+1)/2=15}$ olacaktır. Yan tarafta 3. dereceden bir sihirli kare verilmiştir.

Tarihçe

• Sihirli kareler MÖ 2200 yıllarından beri bilinmektedir.
• Çin'de astroloji, fal bakma, felsefi yorumlama, doğa olayları ve insan davranışları dahil olmak üzere değişik çalışma alanlarında kullanılmıştır.
• 9. ve 10. yüzyılda sihirli karelerin matematiksel özelliklerinin Arap dillerinin konuşulduğu yerlerde çoktan geliştirildiğini göstermektedir.
• 15. yüzyıl boyunca Avrupa'lılar fal, simya ve astroloji ile sihirli kareleri ilişkilendirmeye çalışmışlardır.
• 18. yüzyılda, Batı Afrika'da bu karelerin manevi bir önemi vardı. Bu kareler elbiseler, maskeler ve dini sanat eserlerinin üzerine işlendi.
• 19. yüzyılın sonlarında matematikçiler sihirli kareleri olasılık ve analiz problemlerinde uygulamaya başlamışlardır.

Uygulama Alanları

• Analiz (Calculus)
• Kombinasyonlu Matematik
• Modüler Aritmetik
• Oyun Kuramı
• Çizge Kuramı (Graf Teorisi)
• Olasılık Kuramı
• Geometri
• Astronomi (Güneş Sistemi)

Sihirli Kare Oluşturma

Sihirli Kare probleminin çözümüne ilişkin nasıl bir yaklaşım izlenmeli? Bir bilgisayar programında, döngüler içinde bütün eleman değerlerinin denenmesi oldukça ilkel bir yaklaşımdır. Örneğin, deneme-yanılma yöntemi ile, değerlendirilecek durum sayısı aşağıdaki çizelgedeki gibi olur:

Karenin Derecesi (n)	Değerlendirilecek durum sayısı ( n^2! )
3	3.6 x 10^5
4	2.1 x 10^12
5	1.5 x 10^25
6	3.7 x 10^41
7	6.1 x 10^62

${\displaystyle n>4}$ için çözüm neredeyse imkânsızlaşır. Bu durumda, ne teknolojiye ne de programlama dillerine güvenmek çıkış yolu değildir. Öyle ise, sezgisel yöntemlerin kullanılması kaçınılmazdır!

Problem genel olarak aşağıdaki durumlar için çözümler içerir:

• Tek dereceli kareler (n=3, 5, 7, ...)
• Çift dereceli kareler

1. Tek-Çift: ikiye bölündüğünde tek sayı elde edilen kareler (n = 6, 10, 14, ...)
2. Çift-Çift: ikiye bölündüğünde çift sayı elde edilen kareler (n = 4, 8, 12, ...)

Abiyev'in Sihirli Karesi

Prof. Dr. Asker Ali Abiyev 1996 yılında kendi adını verdiği algoritması için, "Sayılı Sihirli Karelerin Doğal Şifresi" adlı bir kitap hazırlayıp bilim camiasına sunmuştur. 1997 yılında Barselona'da "Batı Matematik Konferansı"nda ünlü matematikçilere sunmuş ve büyük ilgi toplamıştır. Abiyev'in algoritması ile, istenilen sayılardan (tamsayı, gerçel sayı, karmaşık sayı) istenilen dereceden (n -> oo) Sihirli Kare oluşturmak mümkündür.

Abiyev'in Algoritması'na göre önceklikle her biri n elemanlı alfa, beta, gamma ve delta adında 4 tip aritmetik dizi tanımlanıp, her dizi için bir renk tayin edilir:

Dizi	Artım (ortak fark)	Renk
alfa	+1
beta	+n
gamma	-1
Delta	-n

Sonra sihirli kareye sayılar, her bir çerçeve için aşağıdaki algoritma ile, yerleştirilir:

n karenin derecesini ve c karenin çerçeve numarasını göstermek üzere: c=1 den n/2 ye kadar   alfa dizisini (c-1)(n+1)+1 den, diğer dizileri (beta, gamma, delta) bir önceki dizinin son elemanındaki sayıdan başlat. Örneğin: Sihirli Karenin 1. çerçevesine ait dizi elemanları şöyle olacaktır: Alfa dizisi: 1, 2, ..., n Beta dizisi: n, 2n, 3n, ..., n^2 Gamma dizisi: n^2, n^2-1, ..., n^2-(n-1) Delta dizisi: n^2-(n-1)-n, n^2-(n-1)-2n, ..., 1   Her bir dizinin elemanı Euler Devri ile (c'inci) çerçeveye yerleştir. Bir sonraki iç çerçeve geç

Bu algoritma ile oluşturulmuş, 7. ve 10. ve dereceden sihirli kareler şöyledir:

7inci derecenden sihirli kare

26 20 14 1 44 38 32 34 28 15 9 3 46 40 42 29 23 17 11 5 48 43 37 31 25 19 13 7 2 45 39 33 27 21 8 10 4 47 41 35 22 16 18 12 6 49 36 30 24

10uncu derecenden sihirli kare:

1 92 8 94 95 6 97 3 99 10 90 12 83 17 85 86 14 88 19 11 21 79 23 74 26 75 77 28 22 80 70 32 68 34 65 66 37 33 69 31 41 49 58 57 56 55 44 53 42 50 60 59 43 47 46 45 54 48 52 51 40 62 38 64 36 35 67 63 39 61 71 29 73 27 76 25 24 78 72 30 20 82 18 84 15 16 87 13 89 81 91 9 93 7 5 96 4 98 2 100

Abiyev'in Sihirli Karesi Sihirli Sabit'in dışında, diğer algoritmalarda bulunmayan, birçok sihirler (değişmezler, simetriler) içermektedir. Örneğin: denge. Bu algoritmayla yazılan bir Sihirli Kare'deki her bir eleman yerine (bulunduğu koordinatta) sayı değeri kadar aynı birimden kütle konduğunda, sistemin kütle merkezi karenin tam ortası olmaktadır. Lütfen deneyin ve görün! Bu yüzden, bu algoritma ile yazılan sihirli kareye, sayıların dengeli dağılımından dolayı, Dengeli Karede denebilir.

Ayrıca bakınız

8. Dereceden Franklin karesi

Kaynakça

1. "Magic Square" Onkar Singh, The Wolfram Demonstrations Project.

Dış bağlantılar

• Eric W. Weisstein, Magic Square (MathWorld)
• Magic Squares at Convergence
• W. S. Andrews, Magic Squares and Cubes. (New York: Dover, 1960), originally printed in 1917
• John Lee Fults, Magic Squares. (La Salle, Illinois: Open Court, 1974).
• Cliff Pickover, The Zen of Magic Squares, Circles, and Stars (Princeton, New Jersey: Princeton University Press)
• Leonhard Euler, On magic squares ( pdf )
• Mark Farrar, Magic Squares ( )
• Asker Ali Abiyev, The Natural Code of Numbered Magic Squares (1996), <http://www1.gantep.edu.tr/~abiyev/abiyeving.htm>
• William H. Benson and Oswald Jacoby, "New Recreations with Magic Squares". (New York: Dover, 1976).
• A 'perfect' magic square
• Magic Squares of Order 4,5,6, and some theory
• Evolving a Magic Square using Genetic Algorithms
• Magic squares and magic cubes