Tek taraflı limit

Kalkülüste tek taraflı limit, x reel değişkenli bir f(x) fonksiyonun her iki limitidir. Burada x, ya üstten ya da alttan belirli bir noktaya yaklaşır. Bu limit şöyle sembolize edilebilir:

${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)\ }$ veya ${\displaystyle \lim _{x\downarrow a}\,f(x)}$ veya ${\displaystyle \lim _{x\searrow a}\,f(x)}$ ya da ${\displaystyle \lim _{x{\underset {>}{\to }}a}}$

a yaklaşım değerinde x azalan limittir (x, a ya "sağdan" veya "üstten" yaklaşır) ve şöyle ifade edilir.

${\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)\ }$ veya ${\displaystyle \lim _{x\uparrow a}\,f(x)}$ veya ${\displaystyle \lim _{x\nearrow a}\,f(x)}$ ya da ${\displaystyle \lim _{x{\underset {<}{\to }}a}}$

a yaklaşım değerinde x artan limittir (x, a ya "soldan" veya "alttan" yaklaşır)

x, a ya yaklaşırken eğer f(x) fonksiyonunun limiti, iki tek taraflı limite eşittir.

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)\,}$

Bazı durumlarda yukarıdaki limit yoktur. Fakat yine de iki tek taraflı limit vardır. Bu nedenle x, a ya yaklaşırken fonksiyonun limiti bazen "iki taraflı limit" olarak adlandırılır. Bazı durumlarda iki tek taraflı limit vardır, bazı durumlarda yoktur.

Sağ taraflı limit tam olarak şöyle ifade edilebilir:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in I\;(0<x-a<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon )}$

Benzer şekilde sol taraflı limit tam olarak şöyle ifade edilebilir:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in I\;(0<a-x<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon )}$

Burada ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle f}$ tanım kümesi içindeki aralığı ifade eder.

Örnekler

Farklı tek taraflı limitlere sahip bir fonksiyona örnek aşağıda verilmiştir:

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0^{+}}{1 \over 1+2^{-1/x}}=1,}$

Oysa

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0^{-}}{1 \over 1+2^{-1/x}}=0.}$

Limitin topolojik tanımı ile ilişkisi

p noktasındaki tek taraflı limit, limitin genel tanımına karşılık gelir. Fonksiyonun tanım kümesi tek tarafta sınırlandırılır.

Abel teoremi

Bir önemli teorem, belirli kuvvet serisine sahip tek taraflı limitlerin kendi yakınsaklık mesafelerindeki davranışına Abel teoremi denir.

Ayrıca bakınız

• Reel izdüşümsel çizgi

Dış bağlantılar

• Tek taraflı limit, PlanetMath.org.