Zeta sabiti

Matematikte zeta sabiti bir tamsayının Riemann zeta fonksiyonunda yerine yazılmasıyla elde edilen sayıdır. Bu madde farklı tamsayı değerleri için zeta fonksiyonu özdeşlikleri içermektedir.

0 ve 1'de Riemann zeta fonksiyonu

Sıfırda

${\displaystyle \zeta (0)=B_{1}=-{\frac {1}{2}}.}$

eşitliği geçerlidir. 1 noktasında bir kutup bulunur.

${\displaystyle \zeta (1)=\infty .\,}$

Pozitif tamsayılar

Pozitif çift tamsayılar

Pozitif çift tamsayılar kümesi Euler tarafından bulunan ve Bernoulli sayılarıyla ilintilendirilen şu özdeşliği içerir:

${\displaystyle \zeta (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}}$

${\displaystyle n\geq 1}$ koşulunu sağlayan birkaç değer aşağıda verilmiştir.

${\displaystyle \zeta (2)=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}=1.6449\dots }$; Bu eşitliğin gösterimi Basel problemi olarak da bilinir.

${\displaystyle \zeta (4)=1+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}=1.0823\dots }$; Fizikteki Stefan–Boltzmann yasası ve Wien yaklaştırması.

${\displaystyle \zeta (6)=1+{\frac {1}{2^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{6}}{945}}=1.0173...\dots }$

${\displaystyle \zeta (8)=1+{\frac {1}{2^{8}}}+{\frac {1}{3^{8}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{8}}{9450}}=1.00407...\dots }$

${\displaystyle \zeta (10)=1+{\frac {1}{2^{10}}}+{\frac {1}{3^{10}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{10}}{93555}}=1.000994...\dots }$

${\displaystyle \zeta (12)=1+{\frac {1}{2^{12}}}+{\frac {1}{3^{12}}}+\cdots ={\frac {691\pi ^{12}}{638512875}}=1.000246\dots }$

${\displaystyle \zeta (14)=1+{\frac {1}{2^{14}}}+{\frac {1}{3^{14}}}+\cdots ={\frac {2\pi ^{14}}{18243225}}=1.0000612\dots }$

Pozitif çift tamsayılardaki zeta ile Bernoulli sayıları arasındaki ilişki şu şekilde yazılabilir:

${\displaystyle 0=A_{n}\zeta (n)-B_{n}\pi ^{n}\,}$

Burada ${\displaystyle A_{n}}$ ve ${\displaystyle B_{n}}$ tüm çift n değerlerine karşılık gelen tamsayılardır. Bu değerlerin bir bölümü aşağıdaki tabloda verilmiştir.

Katsayılar

2n	A	B
2	6	1
4	90	1
6	945	1
8	9450	1
10	93555	1
12	638512875	691
14	18243225	2
16	325641566250	3617
18	38979295480125	43867
20	1531329465290625	174611
22	13447856940643125	155366
24	201919571963756521875	236364091
26	11094481976030578125	1315862
28	564653660170076273671875	6785560294
30	5660878804669082674070015625	6892673020804
32	62490220571022341207266406250	7709321041217
34	12130454581433748587292890625	151628697551

${\displaystyle \eta _{n}}$'nin yukarıda gösterildiği gibi ${\displaystyle B/A}$ katsayısı olması durumunda

${\displaystyle \zeta (2n)=\sum _{\ell =1}^{\infty }{\frac {1}{\ell ^{2n}}}=\eta _{n}\pi ^{2n},}$

eşitliği sağlanır ve özyinelemeli çözümle

${\displaystyle \eta _{1}={\frac {1}{6}};}$

${\displaystyle \eta _{n}=\sum _{\ell =1}^{n-1}(-1)^{\ell -1}{\frac {\eta _{n-\ell }}{(2\ell +1)!}}+(-1)^{n+1}{\frac {n}{(2n+1)!}}.}$

ifadesine ulaşılır.

Bu özyinelemeli ilişki Bernoulli sayılarından da bulunabilir.

Çift sayılarda geçerli olan dizi 0 noktası yakınında kotanjant fonksiyonunun Laurent açılımı yardımıyla da elde edilebilir.

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\cot(\pi x)={\frac {1}{2}}x^{-1}-{\frac {\pi ^{2}}{6}}x-{\frac {\pi ^{4}}{90}}x^{3}-{\frac {\pi ^{6}}{945}}x^{5}+...}$

Pozitif tek tamsayılar

İlk birkaç tek doğal sayı için

${\displaystyle \zeta (1)=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots =\infty }$; Harmonik seri.

${\displaystyle \zeta (3)=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots =1.20205\dots }$; Apéry sabiti

${\displaystyle \zeta (5)=1+{\frac {1}{2^{5}}}+{\frac {1}{3^{5}}}+\cdots =1.03692\dots }$

${\displaystyle \zeta (7)=1+{\frac {1}{2^{7}}}+{\frac {1}{3^{7}}}+\cdots =1.00834\dots }$

${\displaystyle \zeta (9)=1+{\frac {1}{2^{9}}}+{\frac {1}{3^{9}}}+\cdots =1.002008\dots }$

eşitlikleri sağlanır.

ζ(3) (Apéry teoremi) ve ζ(2n+1) (n ∈ N) kümesinin sonsuz çoklukta elemanının irrasyonel olduğu bilinmektedir. Riemann zeta fonksiyonunun da pozitif tek sayılar kümesinin kimi alt kümeleri için irrasyonel elemanlara sahip olduğu gözlenmiştir. Örneğin; ζ(5), ζ(7), ζ(9) ve ζ(11)'den en az birinin irrasyonel olduğu kesindir.

Bir bölümü aşağıda verilen özdeşliklerin çoğu Simon Plouffe tarafından bulunmuştur. Bu özdeşliklerin kaydadeğer yanı çok hızlı yakınsamaları ve üç basamağa varan kesinlik oranına ulaşmalarıdır.

ζ(5)

Plouffe

${\displaystyle \zeta (5)={\frac {1}{294}}\pi ^{5}-{\frac {72}{35}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}-1)}}-{\frac {2}{35}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}+1)}}}$

ve

${\displaystyle \zeta (5)=12\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\sinh(\pi n)}}-{\frac {39}{20}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}-1)}}-{\frac {1}{20}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}+1)}}}$

özdeşliklerini bulmuştur.

ζ(7)

${\displaystyle \zeta (7)={\frac {19}{56700}}\pi ^{7}-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{7}(e^{2\pi n}-1)}}}$

Toplam, Lambert serisi biçiminde verilmiştir.

ζ(2n+1)

${\displaystyle S_{\pm }(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}(e^{2\pi n}\pm 1)}}}$

şeklinde tanımlanan büyüklükler

${\displaystyle 0=A_{n}\zeta (n)-B_{n}\pi ^{n}+C_{n}S_{-}(n)+D_{n}S_{+}(n)\,}$

biçiminde ilişki dizileri verir. Burada ${\displaystyle A_{n},B_{n},C_{n}}$ ve ${\displaystyle D_{n}}$ pozitif tamsayılardır. Plouffe aşağıdaki değerleri de bulmuştur.

Katsayılar

n	A	B	C	D
3	180	7	360	0
5	1470	5	3024	84
7	56700	19	113400	0
9	18523890	625	37122624	74844
11	425675250	1453	851350500	0
13	257432175	89	514926720	62370
15	390769879500	13687	781539759000	0
17	1904417007743250	6758333	3808863131673600	29116187100
19	21438612514068750	7708537	42877225028137500	0
21	1881063815762259253125	68529640373	3762129424572110592000	1793047592085750

Bu sabitler Bernoulli sayıları toplamı biçiminde de yazılabilir.

Negatif tamsayılar

Negatif tamsayılar için

${\displaystyle \zeta (-n)=-{\frac {B_{n+1}}{n+1}}}$

eşitliği sağlanır.

${\displaystyle n\geq 1}$ için

"açık sıfırlar" olarak adlandırılan değerlere negatif çift tamsayılarda rastlanır.

${\displaystyle \zeta (-2n)=0.\,}$

Negatif tek tamsayıların ilk birkaç değeri aşağıda verilmiştir.

${\displaystyle \zeta (-1)=-{\frac {1}{12}}}$

${\displaystyle \zeta (-3)={\frac {1}{120}}}$

${\displaystyle \zeta (-5)=-{\frac {1}{252}}}$

${\displaystyle \zeta (-7)={\frac {1}{240}}.}$

Bu sayılar Bernoulli sayılarına benzer biçimde çok büyük negatif tek tamsayı değerleri için küçük değerlere sahip değillerdir. Bu değerlerin ilki için 1 + 2 + 3 + 4 + · · · maddesine bakılabilir.

Türevleri

Zeta fonksiyonunun negatif çift tamsayılardaki türevi aşağıdaki gibidir.

${\displaystyle \zeta ^{\prime }(-2n)=(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{2(2\pi )^{2n}}}\zeta (2n+1).}$

Bu türevin ilk birkaç değeri şu şekildedir:

${\displaystyle \zeta ^{\prime }(-2)=-{\frac {\zeta (3)}{4\pi ^{2}}}}$

${\displaystyle \zeta ^{\prime }(-4)={\frac {3}{4\pi ^{4}}}\zeta (5)}$

${\displaystyle \zeta ^{\prime }(-6)=-{\frac {45}{8\pi ^{6}}}\zeta (7)}$

${\displaystyle \zeta ^{\prime }(-8)={\frac {315}{4\pi ^{8}}}\zeta (9).}$

Aşağıdaki eşitlikler de sağlanır.

${\displaystyle \zeta ^{\prime }(0)=-{\frac {1}{2}}\log(2\pi )\approx -0.918938533\ldots }$

${\displaystyle \zeta ^{\prime }(-1)={\frac {1}{12}}-\log A\approx -0.165421137\ldots }$

Burada ${\displaystyle A}$ Glaisher-Kinkelin sabitine karşılık gelmektedir.

Zeta Sabitleri Toplamı

${\displaystyle \sum _{k=2}^{\infty }(\zeta (k)-1)=1}$

Kaynakça

• Simon Plouffe, "Ramanujan'ın Not Defterinden Esinlenen Özdeşlikler", (1998).
• Simon Plouffe, "Ramanujan'ın Not Defterinden Esinlenen Özdeşlikler (2. Bölüm) PDF" (2006).
• Linas Vepstas, "Plouffe'nin Ramanujan Özdeşlikleri Üzerine", ArXiv Math.NT/0609775 (2006).
• Wadim Zudilin, "ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11)'den Biri İrrasyonel." Uspekhi Mat. Nauk 56, 149-150, 2001. PDF PS (Rusça) PDF (Rusça) PS