Apéry sabiti

Kullanılan sayılar γ - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - φ - α - e - π - δ
İkilik sistem	1.001100111011101...
Onluk sistem	1.2020569031595942854...
Sonsuz kesir olarak yazılışı	${\displaystyle 1+{\frac {1}{4+{\frac {1}{1+{\frac {1}{18+{\frac {1}{\ddots \qquad {}}}}}}}}}}$

Apéry sabiti, matematiğin gizemli sayılarından biridir. Elektrodinamik alanında elektronun jiromagnetik oranının ikinci ve üçüncü derece terimlerinin yanı sıra birçok fiziksel soruda karşılaşılan bu sabit, paydasında üstel fonksiyon barındıran integrallerin çözümünde de kullanılmaktadır. Debye modelinin iki boyut için hesaplanması buna örnek olarak gösterilebilir. Sayı, aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır.

${\displaystyle \zeta (3)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}}}=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots }$

Burada ζ, Riemann zeta fonksiyonunu ifade etmektedir. Bu sayının yaklaşık değeri

${\displaystyle \zeta (3)=1.20205\;69031\;59594\;28539\;97381\;61511\;44999\;07649\;86292\,\ldots }$

Bu sayının çarpmaya göre tersi rastgele seçilen üç pozitif tamsayının aralarında asal olma olasılığına eşittir.

Apéry teoremi

Bu sabit, onun bir irrasyonel sayı olduğunu 1978 yılında kanıtlayan Roger Apéry (1916–1994)'ye atfedilmiştir. Bu sonuç, Apéry teoremi olarak adlandırılır. Özgün ispatın karmaşık yapısından ötürü anlaşılamaması Legendre polinomlarını kullanan ispatları popüler hale getirmiştir. Apéry sabitinin bir doğaüstü sayı olup olmadığı henüz bilinmemektedir.

Wadim Zudilin ve Tanguy Rivoal'ın yürüttükleri çalışma, sonsuz çoklukta ζ(2n+1) sayısının irrasyonel olduğunu göstermiştir^[1]. Ayrıca, ζ(5), ζ(7), ζ(9) ve ζ(11)'den en az birinin irrasyonel olması gerektiği bulunmuştur.^[2]

Seri şeklinde yazılışı

Leonhard Euler Euler 1773 1772 yılında bu sayıyı seri şeklinde ifade etmiştir Srivastava 2000, s. 571 (1.11):

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {\pi ^{2}}{7}}\left[1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{(2k+1)(2k+2)2^{2k}}}\right]}$

Bu ifade birçok kez yeniden bulunmuştur.

Simon Plouffe her uygulamada farklı doğruluk derecesine sahip birçok seri önermiştir. Bunlar, Plouffe 1998:

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {7}{180}}\pi ^{3}-2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}}$

ve

${\displaystyle \zeta (3)=14\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}\sinh(\pi k)}}-{\frac {11}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}-{\frac {7}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}+1)}}.}$

ifadeleridir.

${\displaystyle \zeta (2n+1)}$'in farklı değerleri için geçerli eşitlikler zeta sabitleri maddesinde bulunmaktadır.

Bulunan diğer seri ifadeleri şunlardır:

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {8}{7}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{3}}}}$

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {4}{3}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)^{3}}}}$

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {5}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {(k!)^{2}}{k^{3}(2k)!}}}$

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{4}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {56k^{2}-32k+5}{(2k-1)^{2}}}{\frac {((k-1)!)^{3}}{(3k)!}}}$

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {8}{7}}-{\frac {8}{7}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {{\left(-1\right)}^{k}\,2^{-5+12\,k}\,k\,\left(-3+9\,k+148\,k^{2}-432\,k^{3}-2688\,k^{4}+7168\,k^{5}\right)\,{k!}^{3}\,{\left(-1+2\,k\right)!}^{6}}{{\left(-1+2\,k\right)}^{3}\,\left(3\,k\right)!\,{\left(1+4\,k\right)!}^{3}}}}$

${\displaystyle \zeta (3)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {205nk^{2}+250k+77}{64}}{\frac {(k!)^{10}}{((2k+1)!)^{5}}}}$

ve

${\displaystyle \zeta (3)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {P(k)}{24}}{\frac {((2k+1)!(2k)!k!)^{3}}{(3k+2)!((4k+3)!)^{3}}}}$

Burada,

${\displaystyle P(k)=126392k^{5}+412708k^{4}+531578k^{3}+336367k^{2}+104000k+12463.\,}$

Bu ifadelerden bazıları Apéry sabitinin birkaç milyon basamağa kadar hesaplanmasında kullanılmıştır.

Broadhurst 1998'ün sağladığı seri açılımı ikili sayı sisteminde çalışmaktadır. Bu, sabitin doğrusal zamanda hesaplanabilmesine olanak tanımaktadır.

Diğer formüller

Apéry sabiti ikinci dereceden bir poligamma fonksiyonu ile de ifade edilebilmektedir.

${\displaystyle \zeta (3)=-{\frac {1}{2}}\,\psi ^{(2)}(1).}$

Bilinen basamakları

Apéry sabitinin bilinen basamak sayısı son yıllarda büyük bir artış göstermiştir. Bu, bilgisayarların gelişen başarımı ve daha verimli algoritmaların üretilmiş olmasının bir sonucudur.

Apéry sabitinin bilinen basamak sayısı

Tarih	Basamak sayısı	Hesaplamayı Yapan Kişi
Ocak 2007	2,000,000,000	Howard Cheng, Guillaume Hanrot, Emmanuel Thomé, Eugene Zima & Paul Zimmermann
Nisan 2006	10,000,000,000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
Şubat 2003	1,000,000,000	Patrick Demichel & Xavier Gourdon
Şubat 2002	600,001,000	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
Eylül 2001	200,001,000	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
Aralık 1998	128,000,026	Sebastian Wedeniwski Wedeniwski 2001
Şubat 1998	14,000,074	Sebastian Wedeniwski
Mayıs 1997	10,536,006	Patrick Demichel
1997	1,000,000	Bruno Haible & Thomas Papanikolaou
1996	520,000	Greg J. Fee & Simon Plouffe
1887	32	Thomas Joannes Stieltjes
Bilinmiyor	16	Adrien-Marie Legendre

Kaynakça

1. T. Rivoal, La fonction zeta de Riemann prend une infnité de valuers irrationnelles aux entiers impairs, Comptes Rendus Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 331 (2000), s. 267-270.
2. W. Zudilin, ζ(5), ζ(7), ζ(9) ve ζ(11)'den biri irrasyonel, Uspekhi Mat. Nauk 56:4 (2001), s. 149-150.

• Broadhurst, D.J. (1998), Polilogaritmik basamaklar, hipergeometrik seriler ve ζ(3) ve ζ(5)'in 10 milyonuncu basamakları, arXiv (math.CA/9803067), http://arxiv.org/abs/math.CA/9803067 .
• Ramaswami, V. (1934), "Riemann'ın ζ-fonksiyonu Üzerine", J. London Math. Soc. 9: 165–169, DOI:10.1112/jlms/s1-9.3.165 .
• Apéry, Roger (1979), "Irrationalité de ζ(2) et ζ(3)", Astérisque 61: 11–13 .
• van der Poorten, Alfred (1979), "Euler'in ıskaladığı bir ispat. Apéry'nin ζ(3)'ün irrasyonelliğiyle ilgili ispatı.", Math. Intell. 1: 195–203 .
• Plouffe, Simon (1998), Ramanujan'ın Not Defterinden Bazı Özdeşlikler, http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/identities.html 
• Plouffe, Simon, 2000. basamağına dek Apéry sabiti, http://www.worldwideschool.org/library/books/sci/math/MiscellaneousMathematicalConstants/chap97.html .
• Wedeniwski, S. (2001), 1,000,000. basamağına dek Zeta(3), Project Gutenberg 
• Srivastava, H. M. (December 2000), "Zeta Fonksiyonları İçin Bazı Yakınsak Seri Açılımları" (PDF), Taiwanese Journal of Mathematics (Çin Halk Cumhuriyeti Matematik Topluluğu (Tayvan)) 4 (4): 569–598, ISSN 1027-5487, OCLC 36978119, http://www.math.nthu.edu.tw/~tjm/abstract/0012/tjm0012_3.pdf 
• Euler, Leonhard (1773), "Exercitationes analyticae" (Latin) (PDF), Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 17: 173–204, http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E432.pdf 
• Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal (2003), Apéry sabiti: z(3), http://numbers.computation.free.fr/Constants/Zeta3/zeta3.html 

Bu makale PlanetMath'deki Apéry sabiti maddesinden GFDL lisansıyla faydalanmaktadır.