Üstel gönderme

Kuzey kutup bakıldığında Dünya'nın üstel Haritacılık polar azimutal eşit mesafeli projeksiyon dur

Diferansiyel geometride, üstel gönderme bir afin bağlantı ile tüm differensiyellenebilir manifoldlara matematiksel analizin sıradan üstel fonksiyonunun bir genellemesidir. Bu iki önemli özel durumlar bir bir manifoldu için üstel haritası olan Riemann metriktir. ve bir Lie grupa bir Lie cebrinden üstel göndermedir.

Tanım

Diyelimki M bir diferansiyellenebilir manifold olsun ve p Mnin bir noktasıdır. Bir afin bağlantı M pnoktası yoluyla bir geodezikin gösterimi tanımlamaya M üzerinden bir afin bağlantı sağlar.^[1]

Diyelimki v ∈ T_pM pde manifolda bir tanjant vektör olsun. Eğer böyleyse bir eşsiz geodezik γ_v γ_v(0) = p ile doyurucudur başlangıç tanjant vektör γ′_v(0) = v.üstel gönderme karşılığında exp_p(v) = γ_v(1)ile tanımlanır. Genelde, üstel gönderme yalnızca yerel tanım, dır, Bu T_pMde orijinin yalnızca küçük bir komşuluğunda manifold içinde pnin yakın bir komşuluğunda yer alıyor, . Bu çünkü bunun dayanağı varlığı ve tekliği üzerinde teorem üzerinde adi diferansiyel denklemler için bunun yerel doğası içindedir. bir afin bağlantı tam ise üstel tanjant demetinin her noktasında iyi tanımlanmıştır.

Lie teorisi

Lie gruplarıının teorisi içinde,üstel gönderme bir Lie grupunun Lie cebrinden bir gönderme ve grup ona Lie cebrinden yerel grup yapısına kaptırmaya olanak sağlar. Üstel gönderme varlığı Lie cebirlerinin seviyesinde Lie gruplarının çalışması için birincil gerekçelerden biridir. G pozitif reel sayıların çarpımsal grup olduğunda matematiksel analizin sıradan üstel fonksiyonu üstel haritanın özel bir durumudur(onun Lie cebiri tüm gerçek sayılara katkı grubudur).Bir Lie grubunun üstel sıradan üstel fonksiyonu olanlara benzer birçok özellikleri karşılayan, ancak, aynı zamanda pek çok önemli açıdan farklılıklar var

Tanımlar

Diyelimki ${\displaystyle G}$ bir Lie grup olsun ve ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ bu Lie cebiri olsun(${\displaystyle G}$nin özdeş ögesine tanjant uzayının yoluyla ). üstel göndermebir göndermedir

${\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {g}}\to G}$

aşağıdaki gibi çeşitli farklı yollarla tanımlanabilir ki:

• Bu paralel ulaşım sol öteleme ile verilir şekilde G üzerinde bir kanonik sol değişmez afin bağlantı üstel göndermesi vardır.
• Bu G üzerinde bir kanonik sağ değişmeyen afin bağlantının üstel haritasıdır.Bu kanonik sol değişmez bağlantı genellikle farklıdır, ancak, her iki bağlantının aynı jeodezikleri (sol veya sağ çarpma hareket ederek 1-parametreli alt gruplarının yörüngeleri) var bu yüzden aynı üstel haritayı verir.
• Bu ${\displaystyle \exp(X)=\gamma (1)}$ ile verilir.Burada

${\displaystyle \gamma \colon \mathbb {R} \to G}$

${\displaystyle G}$nin tek tek-parametreli altgrubudur ve özdeşliğide onun tanjant vektörü ${\displaystyle X}$ya eşittir. Bu kolayca zincir kuralı ile ${\displaystyle \exp(tX)=\gamma (t)}$. Gönderme ${\displaystyle \gamma }$ belki integral eğrisi olarak inşa edilir ya da sağ- veya sol-değişmez vektör alanı ${\displaystyle X}$ ile ilişkilidir.İntegral eğrisinin tüm gerçek parametreler için varolduğunu sağ veya sol sıfıra yakın çözümü öteleyerek aşağıdadır.

• Eğer ${\displaystyle G}$ bir matris Lie grubu, ise üstel gönderme matris üstel ile örtüşmesi ve adi seri açılımı verilir:

${\displaystyle \exp(X)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {X^{k}}{k!}}=I+X+{\frac {1}{2}}X^{2}+{\frac {1}{6}}X^{3}+\cdots }$

(burada ${\displaystyle I}$ birim matristir).

• G kompakt ise, sol ve sağ öteleme altında Riemann metrik değişmezi vardır ve üstel harita bu Riemann metrik üstel haritasının üstel haritasıdır.

örnekler

• birim çember karmaşık düzlem içinde 0'da merkezli bir Lie grup (çember grubu denir) olan tanjant uzay 1'de karmaşık düzlem içinde sanal eksen ile eşleştirilebilir, ${\displaystyle \{it:t\in \mathbb {R} \}.}$ bu Lie grup için üstel gönderme ile veriliyor

  ${\displaystyle it\mapsto \exp(it)=e^{it}=\cos(t)+i\sin(t),\,}$

bu,aynı formül sıradan karmaşık üstel olarak veriliyor.

• ayrık-karmaşık sayı düzleminde ${\displaystyle z=x+y\jmath ,\quad \jmath ^{2}=+1,}$ sanal ekseni ${\displaystyle \lbrace \jmath t:t\in \mathbb {R} \rbrace }$ birim hiperbol grupun Lie cebiri formları ${\displaystyle \lbrace \cosh t+\jmath \ \sinh t:t\in \mathbb {R} \rbrace }$ nedeniyle üstel harita ile verilen

  ${\displaystyle \jmath t\mapsto \exp(\jmath t)=\cosh t+\jmath \ \sinh t.}$

• ${\displaystyle S^{3}}$ birim 3-küre H kuaterniyonlar içinde 0'da merkezli bir Lie grup (özel birim grup uzayına izomorfik ${\displaystyle SU(2)}$) onun tanjant uzayı 1'de saf sanal kuaternionların uzayı ile eşleştirilebilir, ${\displaystyle \{it+ju+kv:t,u,v\in \mathbb {R} \}.}$

bu Lie grup için verilen üstel harita ile

• ${\displaystyle {\mathbf {w}}=(it+ju+kv)\mapsto \exp(it+ju+kv)=\cos(|{\mathbf {w}}|)+\sin(|{\mathbf {w}}|){\frac {\mathbf {w}}{|{\mathbf {w}}|}}.\,}$

Bu harita ${\displaystyle R}$ 2-küre iç yarıçapı saf sanal kuaternion ${\displaystyle \{s\in S^{3}\subset {\mathbf {H}}:\operatorname {Re} (s)=\cos(R)\}=}$ ${\displaystyle \sin(R)}$ ya bir 2-küre ${\displaystyle R\not \equiv 0{\pmod {2\pi }}}$ yarıçapının ise alınıyor. Karşılaştırmak için ilk örnek yukarıdadır

Ayrıca bakınız

• Üstel konuların listesi

Notlar

1. A source for this section is Kobayashi & Nomizu (1975, §III.6), which uses the term "linear connection" where we use "affine connection" instead.

Kaynakça

• do Carmo, Manfredo P. (1992), Riemannian Geometry, Birkhäuser, ISBN 0-8176-3490-8 . See Chapter 3.
• Cheeger, Jeff; Ebin, David G. (1975), Comparison Theorems in Riemannian Geometry, Elsevier . See Chapter 1, Sections 2 and 3.
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Exponential mapping", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104, http://eom.springer.de/p/e036930.htm 
• Helgason, Sigurdur (2001), Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces, Graduate Studies in Mathematics, 34, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2848-9, MR 1834454 .
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry, Vol. 1 (New bas.), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3 .