Dördey

Matematikte, dördeyler (ya da kvaterniyon, kuaternion, dördübir), karmaşık sayılar cisminin değişmesiz genişletmesidir. İlk defa İrlanda'lı matematikçi Sir William Rowan Hamilton tarafından 1843 yılında tanımlanmış, ve 3 boyutlu uzaydaki matematiğe uygulanmışlardır. İlk başta, kuaterniyonlar değişme kuralına (ab = ba) uymadıkları için sorunlu kabul edilmişlerdir. Her ne kadar pek çok uygulamada vektörler ve matrisler yerlerini almış olsa da, hala kuramsal ve uygulamalı matematikte kullanılmaktadırlar. Başlıca kullanım alanları, 3 boyutlu uzayda dönme hareketinin hesaplanmasıdır.

Dördey cebiri genellikle H (Hamilton) ile gösterilir. Clifford cebiri sınıflandırması Cℓ_0,2(R) = Cℓ⁰_3,0(R) olarak da gösterilirler. H cebirinin analizde önemli bir yeri vardır. Çünkü, Frobenius teoremi'ne göre, gerçel sayılar cismini althalka olarak içeren sonlu-boyutlu dört bölüm cebirinden bir tanesidir (diğerleri gerçel sayılar, karmaşık sayılar ve sekizeyler (octonions)).

Tanım

Dördeyler bir halka olarak tanımlanır. Kümesi:

${\displaystyle \mathbb {H} =\{a+bi+cj+dk|a,b,c,d\in \mathbb {R} \}}$.

olarak verilir. Burada kullanılan toplama şu şekilde tanımlıdır:

${\displaystyle (a_{1}+b_{1}i+c_{1}j+d_{1}k)+(a_{2}+b_{2}i+c_{2}j+d_{2}k)\,}$

${\displaystyle =(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})i+(c_{1}+c_{2})j+(d_{1}+d_{2})k\,}$

Çarpma ise

${\displaystyle (a_{1}+b_{1}i+c_{1}j+d_{1}k)(a_{2}+b_{2}i+c_{2}j+d_{2}k)\,}$

ifadesinin dağıtma kuralı kullanılarak açılmasıyla ve aşağıdaki bağıntılar yardımıyla tanımlanır.

${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1,\,}$

Her dördey tektir ve temel dördeylerin, yani 1, i, j ve k nin gerçel doğrusal birleşimidir.

Dördeyler halkası, çarpma işleminin değişmeli olmaması yüzünden bir cisim değildir. Bir bölüm halkasıdır.

Aynı zamanda, dördeyler, gerçel sayılar üzerinde bir bölüm cebiri oluşturur. Gerçel sayılar ve karmaşık sayılarla birlikte, gerçelleri içeren birleşmeli üç bölüm cebirinden biridir.

Taban ögelerinin çarpımı

denklikler

${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1}$,

burada i, j, ve k H nın taban ögeleridir,i, j, ve k nın tüm olası çarpanlarını belirtir .

örneğin −1 = ijk nın sağ çarpanlarının her ikisi de k ile verilir

${\displaystyle {\begin{aligned}-k&=ijkk=ij(k^{2})=ij(-1),\\k&=ij.\end{aligned}}}$

Diğer tüm olası çarpanlar benzer yöntemlerle belirlenebilir

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}ij&=k,&\qquad ji&=-k,\\jk&=i,&kj&=-i,\\ki&=j,&ik&=-j,\end{alignedat}}}$

olan satır çarpanı sol faktörü teşkil eder ve bir tablo olarak ifade edilebilir,bu yazının üstünde gösterildiği gibi kendilerinin sütunlari sağ faktörü teşkil eder.

Hamilton çarpımı

iki a₁ + b₁i + c₁j + d₁k elementler için ve a₂ + b₂i + c₂j + d₂k, burada çarpıma, Hamilton çarpımı (a₁ + b₁i + c₁j + d₁k) (a₂ + b₂i + c₂j + d₂k) denir, taban ögeler ve dağılımsal kanunun çarpımları ile tanımlanıyor.Dağılım kanunu onu çarpımın açılımı için olası yapar böylece bu taban ögelerin çarpımlarının bir toplamıdır. Bu aşağıdaki bağıntılarla veriliyor:

${\displaystyle a_{1}a_{2}+a_{1}b_{2}i+a_{1}c_{2}j+a_{1}d_{2}k}$

${\displaystyle {}+b_{1}a_{2}i+b_{1}b_{2}i^{2}+b_{1}c_{2}ij+b_{1}d_{2}ik}$

${\displaystyle {}+c_{1}a_{2}j+c_{1}b_{2}ji+c_{1}c_{2}j^{2}+c_{1}d_{2}jk}$

${\displaystyle {}+d_{1}a_{2}k+d_{1}b_{2}ki+d_{1}c_{2}kj+d_{1}d_{2}k^{2}.}$

Şimdi taban elemanları kullanılarak elde etmek için yukarıda verilen kuralları çoğaltılabilir:^[1]

${\displaystyle a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}-c_{1}c_{2}-d_{1}d_{2}}$

${\displaystyle {}+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}+c_{1}d_{2}-d_{1}c_{2})i}$

${\displaystyle {}+(a_{1}c_{2}-b_{1}d_{2}+c_{1}a_{2}+d_{1}b_{2})j}$

${\displaystyle {}+(a_{1}d_{2}+b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2}+d_{1}a_{2})k.}$

Sıralı liste formu

Hnın 1, i, j, k tabanları kullanılıyor dört katının bir kümesi olarak H yazmak için mümkün kılar:

${\displaystyle \mathbf {H} =\{(a,b,c,d)\mid a,b,c,d\in \mathbf {R} \}.}$

ise taban ögeleri:

${\displaystyle {\begin{aligned}1&=(1,0,0,0),\\i&=(0,1,0,0),\\j&=(0,0,1,0),\\k&=(0,0,0,1),\end{aligned}}}$

ve toplam ve çarpım için formüller:

${\displaystyle (a_{1},\ b_{1},\ c_{1},\ d_{1})+(a_{2},\ b_{2},\ c_{2},\ d_{2})=(a_{1}+a_{2},\ b_{1}+b_{2},\ c_{1}+c_{2},\ d_{1}+d_{2}).}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(a_{1},\ b_{1},\ c_{1},\ d_{1})&(a_{2},\ b_{2},\ c_{2},\ d_{2})=\\&=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}-c_{1}c_{2}-d_{1}d_{2},\\&{}\qquad a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}+c_{1}d_{2}-d_{1}c_{2},\\&{}\qquad a_{1}c_{2}-b_{1}d_{2}+c_{1}a_{2}+d_{1}b_{2},\\&{}\qquad a_{1}d_{2}+b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2}+d_{1}a_{2}).\end{aligned}}}$

Dördey değişkenlerinin bir fonksiyonu

bir karmaşık analizin fonksiyonları gibi, bir dördey değişkenin fonksiyonları kullanışlı fizik modelleri önerir.Örneğin, Maxwell tarafından tanıtılan orijinal elektrik ve manyetik alanlar bir dördey değişkenin fonksiyonları idi.

Üstel, logaritma, ve kuvvet

bir dördey veriliyor,

q = a + bi + cj + dk = a + v,

üstel

${\displaystyle \exp(q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n}}{n!}}=e^{a}\left(\cos \|\mathbf {v} \|+{\frac {\mathbf {v} }{\|\mathbf {v} \|}}\sin \|\mathbf {v} \|\right)}$

olarak hesaplanıyor ve

${\displaystyle \ln(q)=\ln \|q\|+{\frac {\mathbf {v} }{\|\mathbf {v} \|}}\arccos {\frac {a}{\|q\|}}}$.^[2]

bir dördeyin kutupsal çözülümünü aşağıdaki gibi yazabiliriz

${\displaystyle q=\|q\|e^{{\hat {n}}\theta }=\|q\|\left(\cos(\theta )+{\hat {n}}\sin(\theta )\right),}$

burada açı θ ve birim vektör ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ile tanımlanıyor:

${\displaystyle a=\|q\|\cos(\theta )}$

ve

${\displaystyle \mathbf {v} ={\hat {n}}\|\mathbf {v} \|={\hat {n}}\|q\|\sin(\theta ).}$

Herhangi birim dördey ${\displaystyle e^{{\hat {n}}\theta }}$.olan kutupsal biçim içinde ifade edilebilir

bir keyfi (gerçek) üstel ${\displaystyle \alpha }$ için bir yükselen dördeyin kuvveti ile veriliyor:

${\displaystyle q^{\alpha }=\|q\|^{\alpha }e^{{\hat {n}}\alpha \theta }=\|q\|^{\alpha }\left(\cos(\alpha \theta )+{\hat {n}}\sin(\alpha \theta )\right).}$

Ayrıca bakınız

• 3-küre
• Birleşmeli cebir
• Bikuaterniyon
• Clifford cebiri
• Karmaşık sayı
• Kuaterniyonlar ve Euler açıları arasındaki dönüşüm
• Bölme cebiri
• Dual Dördey
• Euler açıları
• Dış cebir
• Geometrik cebir
• Hurwitz Dördey
• Hurwitz Dördey düzeni
• Hiperbolik Dördey
• hiperkarmaşık sayı
• Lénárt küresi
• Oktonyon
• Pauli matrisleri
• Kuaterniyon grubu
• Kuaterniyon değişkeni
• Kuaterniyonik matris
• Kuaterniyonlar ve mekansal dönme
• Dönme operatörü (vektör uzayı)
• 4-boyutlu Öklid uzayında dönmeler
• Slerp
• Bölünmüş-Dördey
• Teserakt

Notlar

1. Hazewinkel (2004), ss. 12.
2. Lce.hut.fi

Dış makaleler ve kaynaklar

Kitaplar ve yayınlar

• Hamilton, William Rowan. On quaternions, or on a new system of imaginaries in algebra. Philosophical Magazine. Vol. 25, n 3. p. 489–495. 1844.
• Hamilton, William Rowan (1853), "Lectures on Quaternions". Royal Irish Academy.
• Hamilton (1866) Elements of Quaternions University of Dublin Press. Edited by William Edwin Hamilton, son of the deceased author.
• Hamilton (1899) Elements of Quaternions volume I, (1901) volume II. Edited by Charles Jasper Joly; published by Longmans, Green & Co..
• Tait, Peter Guthrie (1873), "An elementary treatise on quaternions". 2d ed., Cambridge, [Eng.] : The University Press.
• Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Volume 1. 2004. Springer, 2004. ISBN 1-4020-2690-0
• Maxwell, James Clerk (1873), "A Treatise on Electricity and Magnetism". Clarendon Press, Oxford.
• Tait, Peter Guthrie (1886), "Quaternion; Wayback Machine (archived Ağustos 8, 2014)". M.A. Sec. R.S.E. Encyclopaedia Britannica, Ninth Edition, 1886, Vol. XX, pp. 160–164. (bzipped PostScript file)
• Joly, Charles Jasper (1905), "A manual of quaternions". London, Macmillan and co., limited; New York, The Macmillan company. LCCN 05036137 //r84
• Macfarlane, Alexander (1906), "Vector analysis and quaternions", 4th ed. 1st thousand. New York, J. Wiley & Sons; [etc., etc.]. LCCN es 16000048
• 1911 encyclopedia: "Quaternions".
• Finkelstein, David, Josef M. Jauch, Samuel Schiminovich, and David Speiser (1962), "Foundations of quaternion quantum mechanics". J. Mathematical Phys. 3, pp. 207–220, MathSciNet.
• Du Val, Patrick (1964), "Homographies, quaternions, and rotations". Oxford, Clarendon Press (Oxford mathematical monographs). LCCN 64056979 //r81
• Crowe, Michael J. (1967), A History of Vector Analysis: The Evolution of the Idea of a Vectorial System, University of Notre Dame Press. Surveys the major and minor vector systems of the 19th century (Hamilton, Möbius, Bellavitis, Clifford, Grassmann, Tait, Peirce, Maxwell, Macfarlane, MacAuley, Gibbs, Heaviside).
• Altmann, Simon L. (1986), "Rotations, quaternions, and double groups". Oxford [Oxfordshire] : Clarendon Press ; New York : Oxford University Press. LCCN 85013615 ISBN 0-19-855372-2
• Altmann, Simon L. (1989), "Hamilton, Rodrigues, and the Quaternion Scandal". Mathematics Magazine. Vol. 62, No. 5. p. 291–308, December 1989.
• Adler, Stephen L. (1995), "Quaternionic quantum mechanics and quantum fields". New York : Oxford University Press. International series of monographs on physics (Oxford, England) 88. LCCN 94006306 ISBN 0-19-506643-X
• Trifonov, Vladimir (1995), "A Linear Solution of the Four-Dimensionality Problem", Europhysics Letters, 32 (8) 621–626, DOI:10.1209/0295-5075/32/8/001
• Ward, J. P. (1997), "Quaternions and Cayley Numbers: Algebra and Applications", Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-4513-4
• Kantor, I. L. and Solodnikov, A. S. (1989), "Hypercomplex numbers, an elementary introduction to algebras", Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-96980-2
• Gürlebeck, Klaus and Sprössig, Wolfgang (1997), "Quaternionic and Clifford calculus for physicists and engineers". Chichester ; New York : Wiley (Mathematical methods in practice; v. 1). LCCN 98169958 ISBN 0-471-96200-7
• Kuipers, Jack (2002), "Quaternions and Rotation Sequences: A Primer With Applications to Orbits, Aerospace, and Virtual Reality" (reprint edition), Princeton University Press. ISBN 0-691-10298-8
• Conway, John Horton, and Smith, Derek A. (2003), "On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry", A. K. Peters, Ltd. ISBN 1-56881-134-9 (review).
• Kravchenko, Vladislav (2003), "Applied Quaternionic Analysis", Heldermann Verlag ISBN 3-88538-228-8.
• Hanson, Andrew J. (2006), "Visualizing Quaternions", Elsevier: Morgan Kaufmann; San Francisco. ISBN 0-12-088400-3
• Trifonov, Vladimir (2007), "Natural Geometry of Nonzero Quaternions", International Journal of Theoretical Physics, 46 (2) 251–257, DOI:10.1007/s10773-006-9234-9
• Ernst Binz & Sonja Pods (2008) Geometry of Heisenberg Groups American Mathematical Society, Chapter 1: "The Skew Field of Quaternions" (23 pages) ISBN 978-0-8218-4495-3.
• Vince, John A. (2008), Geometric Algebra for Computer Graphics, Springer, ISBN 978-1-84628-996-5.
• For molecules that can be regarded as classical rigid bodies molecular dynamics computer simulation employs quaternions. They were first introduced for this purpose by D.J. Evans, (1977), "On the Representation of Orientation Space", Mol. Phys., vol 34, p 317.
• Zhang, Fuzhen (1997), "Quaternions and Matrices of Quaternions", Linear Algebra and its Applications, Vol. 251, pp. 21–57.

Bağlantılar ve uzman yazıları

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Quaternion", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104, http://eom.springer.de/p/q076770.htm 
• Matrix and Quaternion FAQ v1.21 Frequently Asked Questions
• "Geometric Tools documentation" (frame; body) includes several papers focusing on computer graphics applications of quaternions. Covers useful techniques such as spherical linear interpolation.
• Patrick-Gilles Maillot Provides free Fortran and C source code for manipulating quaternions and rotations / position in space. Also includes mathematical background on quaternions.
• "Geometric Tools source code" (frame; body) includes free C++ source code for a complete quaternion class suitable for computer graphics work, under a very liberal license.
• Doug Sweetser, Doing Physics with Quaternions
• Quaternions for Computer Graphics and Mechanics (Gernot Hoffman)
• The Physical Heritage of Sir W. R. Hamilton (PDF)
• D. R. Wilkins, Hamilton’s Research on Quaternions
• Quaternion Julia Fractals 3D Raytraced Quaternion Julia Fractals by David J. Grossman
• Quaternion Math and Conversions Great page explaining basic math with links to straight forward rotation conversion formulae.
• John H. Mathews, Bibliography for Quaternions.
• Quaternion powers on GameDev.net
• Andrew Hanson, Visualizing Quaternions home page.
• Representing Attitude with Euler Angles and Quaternions: A Reference, Technical report and Matlab toolbox summarizing all common attitude representations, with detailed equations and discussion on features of various methods.
• Charles F. F. Karney, Quaternions in molecular modeling, J. Mol. Graph. Mod. 25(5), 595–604 (January 2007); DOI:10.1016/j.jmgm.2006.04.002; E-print arxiv:0506177.
• Johan E. Mebius, A matrix-based proof of the quaternion representation theorem for four-dimensional rotations., arXiv General Mathematics 2005.
• Johan E. Mebius, Derivation of the Euler–Rodrigues formula for three-dimensional rotations from the general formula for four-dimensional rotations., arXiv General Mathematics 2007.
• NUI Maynooth Department of Mathematics, Hamilton Walk.
• OpenGL:Tutorials:Using Quaternions to represent rotation
• David Erickson, Defence Research and Development Canada (DRDC), Complete derivation of rotation matrix from unitary quaternion representation in DRDC TR 2005-228 paper. Drdc-rddc.gc.ca
• Alberto Martinez, University of Texas Department of History, "Negative Math, How Mathematical Rules Can Be Positively Bent",Utexas.edu
• D. Stahlke, Quaternions in Classical Mechanics Stahlke.org (PDF)
• Morier-Genoud, Sophie, and Valentin Ovsienko. "Well, Papa, can you multiply triplets?", arxiv.org describes how the quaternions can be made into a skew-commutative algebra graded by Z/2 × Z/2 × Z/2.
• Curious Quaternions by Helen Joyce hosted by John Baez.
• Luis Ibanez "Tutorial on Quaternions" Part I Part II (PDF)
• R. Ghiloni, V. Moretti, A. Perotti (2013) "Continuous slice functional calculus in quaternionic Hilbert spaces," Rev.Math.Phys. 25 1350006. An expository paper about continuous functional calculus in quanternionic Hilbert spaces useful in rigorous quaternionic quantum mechanics.
• Visualizing Quaternions by Andrew J. Hanson at Indiana University in Bloomington.

Şablon:Number Systems