Askey-Gasper eşitsizliği

Matematikte, Askey–Gasper eşitsizliği bir eşitsiliği Jacobi polinomu tarafından doğrulanır Richard Askey ve George Gasper 1976 da Bieberbach sanısı'nın kanıtı içinde kullanıyor idi.

Durum

Durum şudur,eğer β ≥ 0, α + β ≥ −2, ve −1 ≤ x ≤ 1 ise

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {P_{k}^{(\alpha ,\beta )}(x)}{P_{k}^{(\beta ,\alpha )}(1)}}\geq 0}$

burada

${\displaystyle P_{k}^{(\alpha ,\beta )}(x)}$

bir Jacobi polinomudur.

Durum β=0 ise ve α bir non-negatif olmayan tamsayıdır ve Louis de Branges tarafından o Bieberbach sanıtının kanıtı içinde kullanılıyor idi

Eşitisizlik şöylede yazılabilir

${\displaystyle \displaystyle {}_{3}F_{2}(-n,n+\alpha +2,(\alpha +1)/2;(\alpha +3)/2,\alpha +1;t)>0}$ for 0≤t<1, α>–1

Kanıt

Shalosh B. Ekhad 1993 bu eşitsizliğin bir kısa kanıtını,eşitsizliklerin kombinasyonu ile verdi

${\displaystyle \displaystyle {\frac {(\alpha +2)_{n}}{n!}}{}_{3}F_{2}(-n,n+\alpha +2,(\alpha +1)/2;(\alpha +3)/2,\alpha +1;t)}$

${\displaystyle \displaystyle ={\frac {(1/2)_{j}(\alpha /2+1)_{n-j}(\alpha /2+3/2)_{n-2j}(\alpha +1)_{n-2j}}{j!((\alpha /2+3/2)_{n-j}(\alpha /2+1/2)_{n-2j}(n-2j)!}}}$

Clausen eşitsizliği ile.

${\displaystyle \displaystyle \times {}_{3}F_{2}(-n+2j,n-2j+\alpha +1,(\alpha +1)/2;(\alpha +2)/2,\alpha +1;t)}$

Genelleştirme

Gasper & Rahman (2004, 8.9) Askey–Gasper eşitsizliğinin bazı genellemeleri Temel hipergeometrik serilere verilir.

Ayrıca bakınız

• Matematiksel fonksiyonların listesi
• Turán eşitsizliği

Kaynakça

• Askey, Richard; Gasper, George (1976), "Positive Jacobi polynomial sums. II", American Journal of Mathematics (American Journal of Mathematics, Vol. 98, No. 3) 98 (3): 709–737, DOI:10.2307/2373813, ISSN 0002-9327, JSTOR 2373813, MR 0430358 
• Askey, Richard; Gasper, George (1986), "Inequalities for polynomials", Baernstein, Albert; Drasin, David; Duren, Peter ve diğ., The Bieberbach conjecture (West Lafayette, Ind., 1985), Math. Surveys Monogr., 21, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ss. 7–32, ISBN 978-0-8218-1521-2, MR 875228, http://books.google.com/books?id=HcDl0D4Y6WoC&pg=PA7 
• Ekhad, Shalosh B. (1993), Delest, M.; Jacob, G.; Leroux, P., ed., "A short, elementary, and easy, WZ proof of the Askey-Gasper inequality that was used by de Branges in his proof of the Bieberbach conjecture", Theoretical Computer Science, Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (Bordeaux, 1991) 117 (1): 199–202, DOI:10.1016/0304-3975(93)90313-I, ISSN 0304-3975, MR 1235178 
• Gasper, George (2004), Basic hypergeometric series, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 96 (2nd bas.), Cambridge University Press, DOI:10.2277/0521833574, ISBN 978-0-521-83357-8, MR 2128719