Asosiye Legendre polinomu

Matematikte, asosiye Legendre polinomları genel Legendre denkleminin kurallı çözümleridir

${\displaystyle (1-x^{2})\,y''-2xy'+\left(\ell [\ell +1]-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)\,y=0,\,}$

veya eşdeğeri

${\displaystyle ([1-x^{2}]\,y')'+\left(\ell [\ell +1]-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)\,y=0,\,}$

burada indisler sırasıyla ℓ ve m (bunlar tamsayılardır) derece olarak adlandırılıyor ve sırasıyla asosiye Legendre polinomunun derecesidir. Bu denklemin sıfır olmayan çözümleri var ve bu [−1, 1] üzerinde tekil olmayandır yalnızca ℓ ve m 0 ≤ m ≤ ℓ veya önemsiz eşdeğer negatif değerler ile birer tamsayidirlar.Eğer ek olarak m çiftse,fonksiyon bir polinomdur ve yine m sıfır ve ℓ tamsayı ise, bu fonksiyonlar Legendre polinomlarına denktir.Genelde ℓ ve m tamsayıdır ve düzenli çözümlere bazen "asosiye Legendre polinomları" denir,alınan polinom değilse o zaman m tektir.Fonksiyonlar tam genel sınıfı ile keyfi ℓ ve m nin gerçek karmaşık değerleri Legendre fonksiyonlarıdır.Bu durumda parametreler genellikle grek harfleri ile etiketlenir.

Legendre adi diferansiyel denklemine fizik ve diğer teknik alanlarda da sık rastlanir. Özel olarak, küresel koordinatlar içinde Laplace denklemiyle ilişkili (kısmi diferansiyel denklemler) çözümler oluşturur ve buna bağlı olarak Legendre polinomları küresel harmoniklerin tanımında önemli bir rol oynamaktadır.

Negatif olmayan tamsayılar için ℓ ve m parametrelerin tanımı

Bu fonksiyonlar ${\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)}$, ile ifade edilir burada alt indislerin derecesi,ve P nin bir kuvveti değildir. Onların en basit tanımı adi Legendre polinomlarının (m ≥ 0) türevlerinin terimleri içindedir Yani

${\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)=(-1)^{m}\ (1-x^{2})^{m/2}\ {\frac {d^{m}}{dx^{m}}}\left(P_{\ell }(x)\right)\,}$

bu formül içinde (−1)^m faktörü Condon–Shortley fazı olarak biliniyor bazı yazarlar onu ihmal eder.Bu denklem ile tanımlanan fonksiyonlar P_ℓ için Legendre denkleminin m inci türevi alınarak parametreler ℓ ve m'in aşağıdaki belirtilmiş değerleri ile genel Legendre diferansiyel denklemini sağlamalıdır.^[1]

${\displaystyle (1-x^{2}){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}P_{\ell }(x)-2x{\frac {d}{dx}}P_{\ell }(x)+\ell (\ell +1)P_{\ell }(x)=0.}$

Bundan öte Rodrigues formülü ile

${\displaystyle P_{\ell }(x)={\frac {1}{2^{\ell }\,\ell !}}\ {\frac {d^{\ell }}{dx^{\ell }}}\left[(x^{2}-1)^{\ell }\right],}$

Pmℓ formu içinde ifade edilebilir.

${\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)={\frac {(-1)^{m}}{2^{\ell }\ell !}}(1-x^{2})^{m/2}\ {\frac {d^{\ell +m}}{dx^{\ell +m}}}(x^{2}-1)^{\ell }.}$

Bu denklem −ℓ ≤ m ≤ ℓ için m ' in sınırlarının uzantısını sağlar. P_ℓ^±m,in tanımları ±m in yerine konmasi ile bu ifade sonucu orantılıdır. Nitekim, sol ve sağ taraftaki eşit kuvvetlerin katsayıları eşitlenir

${\displaystyle {\frac {d^{\ell -m}}{dx^{\ell -m}}}(x^{2}-1)^{\ell }=c_{lm}(1-x^{2})^{m}{\frac {d^{\ell +m}}{dx^{\ell +m}}}(x^{2}-1)^{\ell },}$

o zaman orantısallık sabiti olacağı anlamına geliyor

${\displaystyle c_{lm}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}},}$

böylece

${\displaystyle P_{\ell }^{-m}(x)=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^{m}(x).}$

Alternatif gösterimler

Aşağıdaki alternatif gösterimler de literatürde kullanılır:^[2]

${\displaystyle P_{\ell m}(x)=(-1)^{m}P_{\ell }^{m}(x)}$

Ortogonalite

Varsayalımki 0 ≤ m ≤ ℓ, burada sabitlenmiş m diklik için şunu karşılıyor

${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{k}^{m}P_{\ell }^{m}dx={\frac {2(\ell +m)!}{(2\ell +1)(\ell -m)!}}\ \delta _{k,\ell }}$

Burada δ_k, ℓ Kronecker deltadır

Ayrıca, sabit ℓ için diklik koşulunu karşılayacak:

${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {P_{\ell }^{m}P_{\ell }^{n}}{1-x^{2}}}dx={\begin{cases}0&{\mbox{if }}m\neq n\\{\frac {(\ell +m)!}{m(\ell -m)!}}&{\mbox{if }}m=n\neq 0\\\infty &{\mbox{if }}m=n=0\end{cases}}}$

Negatif m ve/veya negatif ℓ

Diferansiyel denklem m'in işareti içinde bir bir değişiklik altında açık değişmezdir

Negatif m fonksiyonları pozitif m koşullarıyla orantılı olduğu yukarıda gösterilmiştir :

${\displaystyle P_{\ell }^{-m}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^{m}}$

(Bu Rodrigues formülü tanımı ve aynı zamanda çeşitli pozitif veya negatif m için yineleme formüllerinin çalışmasını sağlıyor.)

${\displaystyle {\textrm {If}}\quad {\mid }m{\mid }>\ell \,\quad \mathrm {ise} \quad P_{\ell }^{m}=0.\,}$

Diferansiyel denklem ℓ den −ℓ − 1'ye bir değişiklik altında ayrıca değişmezdir, ve negatif ℓiçin fonksiyonlar şöyle tanımlanır

${\displaystyle P_{-\ell }^{m}=P_{\ell -1}^{m},\ (\ell =1,\,2,\,...)}$.

Asosiye Legendre fonksiyonlarının ilk bir kaçı

m negatif değerler için olanlar da dahil olmak üzere ilk birkaç ilişkili Legendre fonksiyonları:

${\displaystyle P_{0}^{0}(x)=1}$

${\displaystyle P_{1}^{-1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}P_{1}^{1}(x)}$

${\displaystyle P_{1}^{0}(x)=x}$

${\displaystyle P_{1}^{1}(x)=-(1-x^{2})^{1/2}}$

${\displaystyle P_{2}^{-2}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{24}}\end{matrix}}P_{2}^{2}(x)}$

${\displaystyle P_{2}^{-1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\end{matrix}}P_{2}^{1}(x)}$

${\displaystyle P_{2}^{0}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(3x^{2}-1)}$

${\displaystyle P_{2}^{1}(x)=-3x(1-x^{2})^{1/2}}$

${\displaystyle P_{2}^{2}(x)=3(1-x^{2})}$

${\displaystyle P_{3}^{-3}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{720}}\end{matrix}}P_{3}^{3}(x)}$

${\displaystyle P_{3}^{-2}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{120}}\end{matrix}}P_{3}^{2}(x)}$

${\displaystyle P_{3}^{-1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{12}}\end{matrix}}P_{3}^{1}(x)}$

${\displaystyle P_{3}^{0}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(5x^{3}-3x)}$

${\displaystyle P_{3}^{1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}(5x^{2}-1)(1-x^{2})^{1/2}}$

${\displaystyle P_{3}^{2}(x)=15x(1-x^{2})}$

${\displaystyle P_{3}^{3}(x)=-15(1-x^{2})^{3/2}}$

${\displaystyle P_{4}^{-4}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{40320}}\end{matrix}}P_{4}^{4}(x)}$

${\displaystyle P_{4}^{-3}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{5040}}\end{matrix}}P_{4}^{3}(x)}$

${\displaystyle P_{4}^{-2}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{360}}\end{matrix}}P_{4}^{2}(x)}$

${\displaystyle P_{4}^{-1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{20}}\end{matrix}}P_{4}^{1}(x)}$

${\displaystyle P_{4}^{0}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(35x^{4}-30x^{2}+3)}$

${\displaystyle P_{4}^{1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {5}{2}}\end{matrix}}(7x^{3}-3x)(1-x^{2})^{1/2}}$

${\displaystyle P_{4}^{2}(x)={\begin{matrix}{\frac {15}{2}}\end{matrix}}(7x^{2}-1)(1-x^{2})}$

${\displaystyle P_{4}^{3}(x)=-105x(1-x^{2})^{3/2}}$

${\displaystyle P_{4}^{4}(x)=105(1-x^{2})^{2}}$

Özyineleme formülü

Bu fonksiyonların yineleme özelliklerinin dizisi var:

${\displaystyle (\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)=(2\ell +1)xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)}$

${\displaystyle 2mxP_{\ell }^{m}(x)=-{\sqrt {1-x^{2}}}\left[P_{\ell }^{m+1}(x)+(\ell +m)(\ell -m+1)P_{\ell }^{m-1}(x)\right]}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {-1}{2m}}\left[P_{\ell -1}^{m+1}(x)+(\ell +m-1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m-1}(x)\right]}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {-1}{2m}}\left[P_{\ell +1}^{m+1}(x)+(\ell -m+1)(\ell -m+2)P_{\ell +1}^{m-1}(x)\right]}$

${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {1}{2\ell +1}}\left[(\ell -m+1)(\ell -m+2)P_{\ell +1}^{m-1}(x)-(\ell +m-1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m-1}(x)\right]}$

${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {1}{2\ell +1}}\left[P_{\ell -1}^{m+1}(x)-P_{\ell +1}^{m+1}(x)\right]}$

${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m+1}(x)=(\ell -m)xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)}$

${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m+1}(x)=(\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)-(\ell +m+1)xP_{\ell }^{m}(x)}$

${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}{P_{\ell }^{m}}'(x)={\frac {1}{2}}\left[(\ell +m)(\ell -m+1)P_{\ell }^{m-1}(x)-P_{\ell }^{m+1}(x)\right]}$

${\displaystyle (1-x^{2}){P_{\ell }^{m}}'(x)={\frac {1}{2\ell +1}}\left[(\ell +1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)-\ell (\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)\right]}$

${\displaystyle (x^{2}-1){P_{\ell }^{m}}'(x)={\ell }xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)}$

${\displaystyle (x^{2}-1){P_{\ell }^{m}}'(x)={\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m+1}(x)+mxP_{\ell }^{m}(x)}$

${\displaystyle (x^{2}-1){P_{\ell }^{m}}'(x)=-(\ell +m)(\ell -m+1){\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m-1}(x)-mxP_{\ell }^{m}(x)}$

Faydalı denklikler (ilk yineleme için başlangıç değerleri):

${\displaystyle P_{\ell +1}^{\ell +1}(x)=-(2\ell +1){\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{\ell }(x)}$

${\displaystyle P_{\ell }^{\ell }(x)=(-1)^{l}(2\ell -1)!!(1-x^{2})^{(l/2)}}$

${\displaystyle P_{\ell +1}^{\ell }(x)=x(2\ell +1)P_{\ell }^{\ell }(x)}$

!! çiftfaktöriyel dir.

Gaunt formülü

Legendre polinomları içinde bir doğrusal seri içine Legendre polinomlarının çarpımlarını geliştirilirken (aşağıda gösterilen gibi eşleşen dereceler ile) üç asosiye Legendre polinomları çarpımı üzerinde integral gerekli bir bileşendir. Örneğin, bu Coulomb operatörün matris elemanları için Hartree–Fock un çeşitli atom hesaplamalarında gerekli olduğu ortaya çıkıyor. Bunun için de Gaunt formulü var.Bunun için de Gaunt formülü var ^[3]

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}P_{l}^{u}(x)P_{m}^{v}(x)P_{n}^{w}(x)dx=}$	${\displaystyle (-1)^{s-m-w}{\frac {(m+v)!(n+w)!(2s-2n)!s!}{(m-v)!(s-l)!(s-m)!(s-n)!(2s+1)!}}}$
	${\displaystyle \times \ \sum _{t=p}^{q}(-1)^{t}{\frac {(l+u+t)!(m+n-u-t)!}{t!(l-u-t)!(m-n+u+t)!(n-w-t)!}}}$

Bu formül, aşağıdaki varsayımlar altında kullanılacaksa:

1. ${\displaystyle l,m,n\geq 0}$ tamsayıların dereceleri negatif değildir
2. ${\displaystyle u,v,w\geq 0}$ tamsayılarının her üç derecesi negatif değildir
3. ${\displaystyle u}$ üç dereceden  büyüktür
4. ${\displaystyle u=v+w}$ yukardaki derecelerin toplamı
5. ${\displaystyle m\geq n}$ derecelerine uyar

Formül içinde yer alan, diğer nicelikler olarak tanımlanmaktadır

${\displaystyle \ 2s=l+m+n}$

${\displaystyle \ p=\max(0,\,n-m-u)}$

${\displaystyle \ q=\min(m+n-u,\,l-u,\,n-w)}$

integral sıfır olmadıkça

1. Derecelerin toplamı böylece çifttir ve ${\displaystyle s}$ bir tamsayıdır
2. Üçgen durum ${\displaystyle m+n\geq l\geq m-n}$ formülünü karşılar

Hipergeometrik fonksiyonlar yoluyla genelleme

Bu fonksiyonların aslında genel karmaşık parametreler ve argümanı için tanımlanmış olabilir:

${\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )}}\left[{\frac {1+z}{1-z}}\right]^{\mu /2}\,_{2}F_{1}(-\lambda ,\lambda +1;1-\mu ;{\frac {1-z}{2}})}$

burada ${\displaystyle \Gamma }$ gama fonksiyonu ve ${\displaystyle _{2}F_{1}}$ hipergeometrik fonksiyonlardır

${\displaystyle \,_{2}F_{1}(\alpha ,\beta ;\gamma ;z)={\frac {\Gamma (\gamma )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (n+\alpha )\Gamma (n+\beta )}{\Gamma (n+\gamma )\ n!}}z^{n},}$

Bu daha genel bir şekilde tanımlandığında bunlara Legendre fonksiyonları denir.bunlarda daha önce olduğu gibi aynı diferansiyel denklemi sağlamalıdır:

${\displaystyle (1-z^{2})\,y''-2zy'+\left(\lambda [\lambda +1]-{\frac {\mu ^{2}}{1-z^{2}}}\right)\,y=0.\,}$

Bu ikinci dereceden bir diferansiyel denklem olduğundan, ikinci bir çözüm, ${\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)}$, :

${\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}\ \Gamma (\lambda +\mu +1)}{2^{\lambda +1}\Gamma (\lambda +3/2)}}{\frac {1}{z^{\lambda +\mu +1}}}(1-z^{2})^{\mu /2}\,_{2}F_{1}\left({\frac {\lambda +\mu +1}{2}},{\frac {\lambda +\mu +2}{2}};\lambda +{\frac {3}{2}};{\frac {1}{z^{2}}}\right)}$

olarak tanımlanıyor.${\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(z)}$ ve ${\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)}$nin her iki türü uyar,yineleme formülleri önceden verilmişti.

Açıların terimleriyle yeniden parametreleştirilme

argüman açıların terimleriyle yeniden parametrelenen bu fonksiyonlar,çok kullanışlıdır, ${\displaystyle x=\cos \theta }$ yardımıyla:

${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )=(-1)^{m}(\sin \theta )^{m}\ {\frac {d^{m}}{d(\cos \theta )^{m}}}\left(P_{\ell }(\cos \theta )\right)\,}$

İlk birkaç polinomlar, bu şekilde parametrelidir:

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}^{0}(\cos \theta )&=1\\[8pt]P_{1}^{0}(\cos \theta )&=\cos \theta \\[8pt]P_{1}^{1}(\cos \theta )&=-\sin \theta \\[8pt]P_{2}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{2}}(3\cos ^{2}\theta -1)\\[8pt]P_{2}^{1}(\cos \theta )&=-3\cos \theta \sin \theta \\[8pt]P_{2}^{2}(\cos \theta )&=3\sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{3}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{2}}(5\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\[8pt]P_{3}^{1}(\cos \theta )&=-{\tfrac {3}{2}}(5\cos ^{2}\theta -1)\sin \theta \\[8pt]P_{3}^{2}(\cos \theta )&=15\cos \theta \sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{3}^{3}(\cos \theta )&=-15\sin ^{3}\theta \\[8pt]P_{4}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{8}}(35\cos ^{4}\theta -30\cos ^{2}\theta +3)\\[8pt]P_{4}^{1}(\cos \theta )&=-{\tfrac {5}{2}}(7\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\sin \theta \\[8pt]P_{4}^{2}(\cos \theta )&={\tfrac {15}{2}}(7\cos ^{2}\theta -1)\sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{4}^{3}(\cos \theta )&=-105\cos \theta \sin ^{3}\theta \\[8pt]P_{4}^{4}(\cos \theta )&=105\sin ^{4}\theta \end{aligned}}}$

sabitlenmiş m için ${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$ ortogonaldir,${\displaystyle [0,\pi ]}$,üzerinde θ ile ${\displaystyle \sin \theta }$ ağırlığı ile parametrizedir:

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }P_{k}^{m}(\cos \theta )P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\,\sin \theta \,d\theta ={\frac {2(\ell +m)!}{(2\ell +1)(\ell -m)!}}\ \delta _{k,\ell }}$

Ayrıcaℓsabitleyicisi için:

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }P_{\ell }^{m}(\cos \theta )P_{\ell }^{n}(\cos \theta )\csc \theta \,d\theta ={\begin{cases}0&{\text{if }}m\neq n\\{\frac {(\ell +m)!}{m(\ell -m)!}}&{\text{if }}m=n\neq 0\\\infty &{\text{if }}m=n=0\end{cases}}}$

θ'nın terimleri içinde, ${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {dy}{d\theta }}+\left[\lambda -{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right]\,y=0\,}$

nin çözümleridir.daha kesin olarak, verilen bir integer m${\displaystyle \geq }$0 tamsayı,yukarıdaki denklemin tekil olmayan çözümler var yalnızca ℓ için ${\displaystyle \lambda =\ell (\ell +1)\,}$ ≥ m,bir tamsayıdır Ve bu sonuçlar ${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$ için orantılıdır

Fizikte Uygulamalar: küresel harmonikler

küresel simetri söz konusu olduğu durumlarda fizikte birçok durumlarda, açıların terimleri içinde asosiye Legendre polinomları oluşabilir..küresel koordinatlar içinde eşenlem açı yukarda kullanılan ${\displaystyle \theta }$ açısıdır. ${\displaystyle \phi }$ boylam açısı bir çarpım faktörü içinde görüntülenir. Bununla birlikte bu fonksiyonlardan oluşanların kümesine küresel harmonikler denir. Bu fonksiyonlar SO(3) Lie grubu'nun hareketi altında iki kürenin simetri ifadesidir.

Bu fonksiyonları kullanışlı yapan bir kürenin yüzeyi üzerinde.${\displaystyle \nabla ^{2}\psi +\lambda \psi =0}$ denkleminin çözümleri için merkezdir.Küresel koordinatlar θ (eşenlem) ve φ (boylam), Laplasyeni

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi ={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}+\csc ^{2}\theta {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \phi ^{2}}}.}$

dir.Eğer kısmi diferasiyel denklem ise

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}+\csc ^{2}\theta {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \phi ^{2}}}+\lambda \psi =0}$

değişkenlerin ayrılması çözüm metodudur, m≥0,tamsayıları için ${\displaystyle \sin(m\phi )}$ veya ${\displaystyle \cos(m\phi )}$ tek bir φ-bağımlı kısım alınıyor ve θ-bağımlı kısım denklemi için

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {dy}{d\theta }}+\left[\lambda -{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right]\,y=0\,}$

bunun için çözümler ${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$ ile ${\displaystyle \ell {\geq }m}$ ve ${\displaystyle \lambda =\ell (\ell +1)}$ dir.

Dolayısıyla, denklemin

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi +\lambda \psi =0}$

tekil olmayan ayrılmış çözümleri yalnızca ${\displaystyle \lambda =\ell (\ell +1)}$,ve bu sonuçlar orantılıdır

${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ \cos(m\phi )\ \ \ \ 0\leq m\leq \ell }$

ve

${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ \sin(m\phi )\ \ \ \ 0<m\leq \ell .}$

ℓ'nin her seçimi için, burada 2ℓ + 1 m nin çeşitli değerleri için fonksiyonlar ve sin ve cos'un seçimin.Bu tüm ℓ ve m her ikisi içinde ortogonal ise kürenin yüzeyi üzerinde integredir.

Çözümler genellikle karmaşık üstel terimleri içinde yazılır:

${\displaystyle Y_{\ell ,m}(\theta ,\phi )={\sqrt {\frac {(2\ell +1)(\ell -m)!}{4\pi (\ell +m)!}}}\ P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ e^{im\phi }\qquad -\ell \leq m\leq \ell .}$

Fonksiyonlar ${\displaystyle Y_{\ell ,m}(\theta ,\phi )}$ küresel harmoniklertir, ve karekök içinde nicelik bir normalizasyon faktörüdür.Pozitif ilişkili Legendre fonksiyonları arasındaki ilişkiyi hatırlatarak, ve negatif m, bu kolayca küresel harmonik kimliğini karşılayacağı gösterilmiştir^[4]

${\displaystyle Y_{\ell ,m}^{*}(\theta ,\phi )=(-1)^{m}Y_{\ell ,-m}(\theta ,\phi ).}$

Fourier serisi anlamıyla fonksiyonların tam bir ortonormal dik küme formu küresel harmonik fonksiyonlardır .Belirtilmelidir ki jeodezi,yerçekimi ve spektral analiz alanlarında çalışanlar burada verilenden daha farklı bir faz ve normalizasyon faktörü kullanırlar(bak küresel harmonikler).

Ne zamanki bir 3 boyutlu küresel simetrik kısmi diferansiyel denklem küresel koordinatlardaki değişkenlerin ayrılması yöntemi ile çözüldü, ışınsal kısmın çıkarılmasından sonra kalan kısmı formun tipi

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi (\theta ,\phi )+\lambda \psi (\theta ,\phi )=0,}$

dir ve bu nedenle çözümler küresel harmoniklerdir.

Genellemeler

Legendre polinomları hipergeometrik seri ile yakından ilişkilidir.Küresel harmoniklerin bir formu içinde,bu Lie grubu SO(3)ün hareketi altında iki-kürenin simetri ifadesidir. Burada diğer birçok SO(3) Lie gupları dışında, ve yarı-basit Lie grupları ve Riemannyen simetrik uzaylarının simetrik ifadesi için Legendre polinomlarının analog bir genellemesi var.Kabacası,simetrik uzaylarda bir Laplasyen tanımlanabilir; Laplasyen'in özfonksiyonları diğer çerçevelerde küresel harmonik genellemeler olarak düşünülebilir.

Ayrıca bakınız

• Açısal momentum
• Gaussian dördün
• Legendre polinomları
• Küresel harmonikler
• Legendre fonksiyonlarının Whipple dönüşümleri

Notlar ve kaynakça

1. Courant & Hilbert 1953, V, §10.
2. Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, ed. (1983). "Chapter 8". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first bas.). Washington D.C., USA; New York, USA: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. s. 332. ISBN 0-486-61272-4. LCCN 64-60036. MR 0167642. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 6512253-{{{3}}}. http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_332.htm. 
3. From John C. Slater Quantum Theory of Atomic Structure, McGraw-Hill (New York, 1960), Volume I, page 309, which cites the original work of J. A. Gaunt, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, A228:151 (1929)
4. This identity can also be shown by relating the spherical harmonics to Wigner D-matrisi and use of the time-reversal property of the latter. The relation between associated Legendre functions of ±m can then be proved from the complex conjugation identity of the spherical harmonics.

• Arfken, G.B.; Weber, H.J. (2001), Mathematical methods for physicists, Academic Press, ISBN 0-12-059825-6 ; Section 12.5. (Uses a different sign convention.)
• Belousov, S. L. (1962), Tables of normalized associated Legendre polynomials, Mathematical tables, 18, Pergamon Press .
• Condon, E. U.; Shortley, G. H. (1970), The Theory of Atomic Spectra, Cambridge, England: Cambridge University Press, OCLC 5388084 ; Chapter 3.
• Courant, Richard; Hilbert, David (1953), Methods of Mathematical Physics, Volume 1, New York: Interscience Publischer, Inc .
• Şablon:Dlmf
• Edmonds, A.R. (1957), Angular Momentum in Quantum Mechanics, Princeton University Press, ISBN 0-691-07912-9 ; Chapter 2.
• Hildebrand, F. B. (1976), Advanced Calculus for Applications, Prentice Hall, ISBN 0-13-011189-9 .
• Şablon:Dlmf
• Schach, S. R. (1973) New Identities for Legendre Associated Functions of Integral Order and Degree , Society for Industrial and Applied Mathematics Journal on Mathematical Analysis, 1976, Vol. 7, No. 1 : pp. 59–69

Dış bağlantılar

• Associated Legendre polynomials in MathWorld
• Legendre polynomials in MathWorld