Dirichlet beta fonksiyonu

Matematik'teki Dirichlet beta fonksiyonu (diğer bir değişle Catalan beta fonksiyonu) özel fonksiyon'dur, aslında modifiye edilerek parantezlenmiş Riemann zeta fonksiyonu'nundan ibarettir. özel bir şekli Dirichlet L-fonksiyon'udur.

Tanım

Dirichlet beta fonksiyonu'nun tanımı

$\beta(s) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n} {(2n+1)^s},$

veya eşdeğeri,

$\beta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}\frac{x^{s-1}e^{-x}}{1 + e^{-2x}}\,dx.$

Re(s) > 0 olduğu her durum için geçerlidir.

Alternatif olarak, aşağıdaki Hurwitz zeta fonksiyonu'nun kompleks değerleri için s-plan'da yapılan tanım

$\beta(s) = 4^{-s} \left( \zeta\left(s,{1 \over 4}\right)-\zeta\left( s, {3 \over 4}\right) \right).$

Diğer bir eşdeğer tanımlama, Lerch transcendent terimleri içerisindedir:

$\beta(s) = 2^{-s} \Phi\left(-1,s,{{1} \over {2}}\right),$

s 'nin bütün karmaşık değerleri için bu bir kez daha geçerlidir.

Fonksiyonal denklem

fonksiyonal denklem beta fonksiyonunun açılımı kompleks düzlem'in sol tarafında Re(s)<0 için,

$\beta(s)=\left(\frac{\pi}{2}\right)^{s-1} \Gamma(1-s) \cos \frac{\pi s}{2}\,\beta(1-s)$ olarak verilir.

Burada Γ(s) Gama fonksiyonu'dur.

Özel değerler

Bazı tanınmış özel değerler:

$\beta(0)= \frac{1}{2},$

$\beta(1)\;=\;\tan^{-1}(1)\;=\;\frac{\pi}{4},$

$\beta(2)\;=\;G,$

burada G Catalan sabiti'dir., ve

$\beta(3)\;=\;\frac{\pi^3}{32},$

$\beta(4)\;=\;\frac{1}{768}(\psi_3(\frac{1}{4})-8\pi^4),$

$\beta(5)\;=\;\frac{5\pi^5}{1536},$

$\beta(7)\;=\;\frac{61\pi^7}{184320},$

burada $\psi_3(1/4)$ poligama fonksiyonu'nun sayısal bir değeridir. her pozitif k tamsayısı için genelleştirirsek:

$\beta(2k+1)={{{({-1})^k}{E_{2k}}{\pi^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k!)}},$

Burada $\!\ E_{n}$ olarak gösterlien Euler sayısı'dır.. k ≥ 0,

için açılımlanmış şekli:

$\beta(-k)={{E_{k}} \over {2}}.$

Dolayısıyla bağıntının bütün negatif integral değerleri için fonksiyon tuhaf bir şekilde gözden kaybolur.

Ayrıca bakınız

• Hurwitz zeta fonksiyonu

Kaynakça

• J. Spanier and K. B. Oldham, An Atlas of Functions, (1987) Hemisphere, New York.
• Eric W. Weisstein, Dirichlet Beta Function (MathWorld)