Heegner sayıları
Sayı teorisinde, bir Heegner sayıları bir kare-free pozitif tamsayı d böylece sanal kuadratik alan Q(√−d) sınıf sayısı 1 var. Eşdeğeri tamsayıların halkasıdır eşsiz çarpanlama var.[1]
Bu tür sayılarının belirlenmesi sınıf sayı probleminin özel bir durumudur, ve bu sayı kuramında birkaç çarpıcı sonuç yatar.
Stark–Heegner teoremine göre buradaki tam dokuz Heegner sayısıdır:
Bu sonuç Gauss tarafından varsayıldı ve Kurt Heegner tarafından 1952 içinde kanıtlandı.
Euler'in asal-üreten polinomali
Euler'in asal-üreten polinomali
- ,
bu n = 1, ..., 40 için verilen(farklı) asallar,Heegner sayısıyla ilişkilidir 163 = 4 · 41 − 1.
Euler'in formülü, ile alınan 1,... 40 değeri şuna eşdeğerdir
ile alınan 0,... 39 değeri, ve Rabinowitz[2] şunu kanıtladı
için verilen asal ancak ve ancak bunun diskriminant eşit eksi bir Heegner sayısı.
(Unutmadan elde edilen , böylece maksimaldir.) 1, 2, ve 3 gerekli formu değildir, böylece Heegner sayıları bu iş dir,asal üreten fonksiyon için Euler'in formu elde edilir; burada sonraki sayılar F. Le Lionnais tarafından Euler'ın şanslı sayıları denir .[3]
Yaklaşık tamsayılar ve Ramanujan sabiti
Ramanujan'ın sabiti aşkın sayıdır[4] , bu bir yaklaşık tamsayı olmasıyla bir tamsayıya çok yakındır:
Bu sayılar 1859 içinde matematisyen Charles Hermite tarafından araştırıldı.[6] 1975'te April Fool içinde Scientific American magazinindeki makalede,[7] "Matematik Oyunlar" köşe yazarı Martin Gardner sayının aslında bir tamsayı olduğunu (oyun) iddia etti,ve Hint matematik dehası Srinivasa Ramanujan tahmini ve dolayısıyla adı var.
Bu sıklıkla j-değişmezinin q-açılımının karmaşık çarpımı ile açıklanıyor.
Ayrıntılar
Kısacası bir Heegner sayısı, d için bir tamsayıdır ve q-açılımı yoluyla .
Eğer bir kuadratik irrasyonel, ise j-değişmezi derecenin bir cebirsel tamsayısıdır , nun sınıf sayısı ve minimal (monik integral) polinomali ona Hilbert sınıfı polinomali demek tatmin edicidir. Böylece eğer sanal kuadratik uzantı sınıf sayısı 1 varsa(böylece d bir Heegner sayısıdır),j-değişmezi bir tamsayıdır.
j ninq-açılımı ile Fourier serisi açılımı bir Laurent serisi olarak yazılır nun terimleri içinde, olarak başlar:
katsayısı olarak asimptotik büyüyecek, ve düşük dereceden katsayıları den daha yavaş büyümeye devam edecek,böylece için, j ilk iki terimleri ile çok iyi yaklaşıktır . çerçevesi elde edilir veya eşdeğeri, . Şimdi , böylece,
Veya,
burada hata doğrusal terimdir,
açıklayan neden yaklaşık yukarıdaki içinde bir tamsayıdır.
Diğer Heegner sayıları
Dört büyük Heegner sayılar için, tek bir elde yaklaşımları[8] aşağıdaki gibidir.
Alternatif olarak,[9]
burada kareler için belli Eisenstein serisine bağlıdır.Heegner sayıları için , tek bir elde değil hemen hemen tam sayıdır; çift önemli değildir.[10] Tamsayı j-değişmezleri yüksek çarpanlaştırılabilir,bu formdan aşağıda, ve faktör olarak,
Bu aşkın sayı ek olarak, yakın tam sayı ile tahmin ediliyor, (bu 1 derecelinin basitcebirsel sayıları ), Ayrıca 3 derecelinin cebrik sayıları ile yakın yaklaşık olabilir,[11]
(τ)Dedekind eta fonksiyonunun katsayıları ile tam verilebilen kübiklerin kökleridir, involving bir 24. kökü içeren bir modüler fonksiyon , ve yaklasıklıkta 24 açıklıyor. Buna ek olarak, derecesi 4 cebirsel sayılar ile aynı zamanda yakın yaklaşıklık olabilir,[12]
şu çarpanlar olarak, iyi olarak tamsayıların yeniden ortaya çıkmasını unutmayın
bu, uygun kesirli güç ile,tam j-değişmezlerdir.Yanı sıra derecesi 6 cebirsel sayılar için
burada xın altıncı denklemin yaklaşık kökleri ile sırasıyla verilir,
ile j-değişmezi tekrar görünüyor. Bu sextics sadece cebirsel değildir,bu are ayrıca köklerin içinde çözülebilen factor olarak uzantıları üzerinde içine iki kübikller (ile ilk çarpım daha fazla içine iki kuadratikler). Bu cebrik yaklaşıklıklar Dedekind eta katsayılarının terimleri içinde tam gösterilebilir. As bir örnek olarak, diyelimki , ise,
burada eta katsayıları yukarıda verilen cebrik katsayılardır.
Ardışık asallar
verilen tek asal p, eğer hesaplar için (bu yeterlidir çünkü ), bir ardışık kompozit alır, ardışık asal sayıların ardından, if and only if p bir Heegner sayısıdır.[13]
Ayrıntılar için, bkz "Quadratic Polynomials Producing Consecutive Distinct Primes and Class Groups of Complex Quadratic Fields" by Richard Mollin.
Notlar ve kaynakça
- ↑ Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996). The Book of Numbers. Springer. s. 224. ISBN 0-387-97993-X.
- ↑ Rabinowitz, G. "Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern." Proc. Fifth Internat. Congress Math. (Cambridge) 1, 418–421, 1913.
- ↑ Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, pp. 88 and 144, 1983.
- ↑ Eric W. Weisstein, Transcendental Number (MathWorld) math>e^{\pi\sqrt{d}}, d \in Z^*</math> ile tabanı üzerinde ile verilir. Nesterenko, Yu. V. "On Algebraic Independence of the Components of Solutions of a System of Linear Differential Equations." Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 38, 495–512, 1974. English translation in Math. USSR 8, 501–518, 1974.
- ↑ Ramanujan Constant – from Wolfram MathWorld
- ↑ Barrow, John D (2002). The Constants of Nature. London: Jonathan Cape. ISBN 0-224-06135-6.
- ↑ Gardner, Martin (April 1975). "Mathematical Games". Scientific American (Scientific American, Inc) 232 (4): 127.
- ↑ These can be checked by computing on a calculator, and for the linear term of the error.
- ↑ http://groups.google.com.ph/group/sci.math.research/browse_thread/thread/3d24137c9a860893?hl=en#
- ↑ The absolute deviation of a random real number (picked uniformly from Şablon:Closed-closed, say) is a uniformly distributed variable on Şablon:Closed-closed, so it has medyan mutlak sapma ve 0.25'in medyan mutlak sapması var , ve 0.22 bir sapma olağanüstü değil.
- ↑ "Pi Formulas". 12 Mart 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi. http://web.archive.org/web/20140312234150/https://sites.google.com/site/tpiezas/001.
- ↑ "Extending Ramanujan's Dedekind Eta Quotients". 12 Eylül 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi. http://web.archive.org/web/20150912023843/https://sites.google.com/site/tpiezas/ramanujan.
- ↑ http://www.mathpages.com/home/kmath263.htm
Dış bağlantılar
- Eric W. Weisstein, Heegner Number (MathWorld)
- "Sloane's A003173 : Heegner numbers: imaginary quadratic fields with unique factorization", The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
- Gauss' Class Number Problem for Imaginary Quadratic Fields, by Dorian Goldfeld: Detailed history of problem.
- Clark, Alex. "163 and Ramanujan Constant". Numberphile. Brady Haran. 12 Eylül 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi. http://web.archive.org/web/20150912220926/http://www.numberphile.com/videos/163.html.