Hilbert dönüşümü

Matematik ve sinyal işlemede, Hilbert dönüşümü için bir fonksiyon bir doğrusal operatör,u(t) alınır, ve aynı domen ile,H(u)(t) fonksiyonu üretilir David Hilbert ilk olarak holomorfik fonksiyonlarda Riemann-Hilbert probleminin özel bir durumunu çözmek için operatörü tanıttı ve fonksiyon onun adına ithaf edilmiştir.Bu Fourier analizi içinde temel araçtır, ve belirli bir fonksiyon veya Fourier serilerinin harmonik eşleniğinin gerçekleştirilmesi için somut bir araç sağlar. Ayrıca, harmonik analizde, bu bir tekil integral işlemci ve bir Fourier çarpanının bir örneğidir.Hilbert dönüşümü, bir u(t) sinyalinin analitik gösterimini elde etmek için kullanılan sinyal işleme alanında da önemlidir.

Hilbert dönüşümü aslında bu Hilbert çekirdeği evrişimi ile birlikte verildiği durumda, periyodik fonksiyonlar için tanımlanmış, veya eşdeğer daire üzerindeki fonksiyonlar için yapıldı. Ancak daha yaygın olarak,Hilbert dönüşümü R gerçel eksen üzerinde ( üst yarı-düzlemin sınırı) tanımlanmış fonksiyonlar için, Cauchy çekirdeği ile birlikte bir evrişim anlamına gelir.Hilbert dönüşümü Paley-Wiener teoremi ile yakından ilişkilidir, üst yarı-düzlem ve gerçek eksen üzerindeki fonksiyonların Fourier dönüşümleri holomorfik fonksiyonlarla ilişkili bir diğer sonuçtur.

bir kare dalga mavi ile,Hilbert dönüşümü kırmızı ile

Giriş

u nun Hilbert dönüşümü h(t) = 1/(πt) fonksiyonu ile u(t) nin evrişimi olarak düşünülebilir.çünkü h(t) yakınsak olmayan evrişim tanımlayan integraller integrallenebilir değildir. Bunun yerine,Hilbert dönüşümü Cauchy temel değeri kullanılarak tanımlanır(burada p.v. ile gösterilir).Açıkça,bir fonksiyonun (veya sinyalin) Hilbert dönüşümü u(t) tarafından şöyle verilir:

sağlanan bu integral bir temel değer olarak bulunmaktadır.Bu Pv temperli dağılım ile unun evrişimi tamdır 1/πt (hem Schwartz ( 1950); hem de Pandey ( 1996, Bölüm 3) ye bakınız ). Alternatif olarak, değişkenleri değiştirerek integral temel değeri Zygmund 1968, §XVI.1 açıkça şöyle yazılabilir

Hilbert dönüşümü bir u fonksiyonuna arka arkaya iki kez uygulandığında ,sonuç negatif u olur

ard arda tanımlayan her integral uygun bir anlamda yakınsak verilmiştir.Özellikle,H ters dönüşümüdür.u(t) nin Fourier dönüşümü üzerinde Hilbert dönüşümünün etkisi düşünüldüğünde bu gerçek çok kolay görülebilir(bkz: Fourier dönüşümü ile ilişkililik,aşağıda). Bir analitik fonksiyon üst yarı-düzlem içinde Hilbert dönüşümü için sınır değerlerin gerçek bir parçası ve ve hayali parçası arasındaki ilişkiyi açıklar.f(z) düzlemde Im z > 0 ve u(t) = Re f(t + i ) Yani, eğer Im f(t + i ) = H(u)(t) ek bir sabit kadar,Hilbert dönüşümünün varlığını sağlar.

Gösterim

sinyal işlemede u(t)nin Hilbert dönüşümü yaygın olarak (örn., Brandwood 2003, pg 87) ile gösterilir.Ancak, matematikte, bu u(t) notasyonu zaten yoğun olarak Fourier dönüşümünü belirtmek için kullanılır (örneğin,Stein & Weiss 1971). Bazen, Hilbert dönüşümü ile gösterilebiliyor. Ayrıca, birçok kaynakta Hilbert dönüşümü burada tanımlananın bir (örneğin, Bracewell 2000, sf 359) negatifi olarak tanımlanır.

Tarihçe

Hilbert dönüşümü analitik fonksiyonlar açısından Riemann tarafından ortaya atılan bir sorun üzerinde Hilbert'in 1905 çalışmasında ortaya çıktı (Khvedelidze 2001; Hilbert 1953) Riemann-Hilbert problemi olarak bilinen hale geldi. Hilbert'in çalışması (Khvedelidze 2001, Hilbert 1953) çemberin üzerinde tanımlı fonksiyonlar için Hilbert dönüşüm ile odaklı idi.Ayrık Hilbert dönüşümü ile ilgili daha önceki çalışmaların bazılarını geri Göttingene dönüşünde verdi Sonuçlar daha sonra Hardy, Littlewood & Polya 1952, §9.1 doktora tezinde Hermann Weyl tarafından yayınlanmıştır. Schur ayrık Hilbert dönüşümü hakkında Hilbert'in sonuçlarını geliştirmişti ve Hardy, Littlewood & Polya 1952, §9.2 İntegral durum için bunları genişletti. Bu sonuçlar L2 ve ℓ2 uzayları ile sınırlı idi. 1928 yılında Marcel Rieszin Hilbert dönüşümü p 'nin aynı aralık için Lp(R) üzerinde sınırlı operatör olduğunu, 1  p  ∞ için Lp(R) içinde u için tanımlanabilir, ve benzer olabileceğini kanıtladı Hilbert çember dönüşümü yanı sıra ayrık Hilbert Riesz 1928 dönüşümü içinde sonuçlar tutar.Tekil integrallerin Hilbert dönüşümü (Calderón & Zygmund 1952) kendi çalışması sırasında Antoni Zygmund ve Alberto Calderón için motive edici bir örnek oldu. Onların araştırmaları, modern harmonik analizde temel bir rol oynamıştır. Hilbert'in bileneer ve trilineer gibi çeşitli genellemeleri bugün Hilbert dönüşümünün hala aktif araştırma alanlarıdır.

Fourier dönüşümü ile ilişkililik

Hilbert dönüşümü bir çarpan işlemcidir Duoandikoetxea 2000, Chapter 3. Hnın sembolü σH(ω) = i sgn(ω) dir., burada sgn signum fonksiyondur. Bunun için:

burada Fourier dönüşümü nedeniyle sgn(x) = sgn(2πx),nin üç yaygın tanımı için uygulanan sonuçlar aşağıdadır.

Euler formülü ile,

Bunun için H(u)(t) ile ve 90° ile +90° (π/2 radyan) u(t)nin negatif frekans bileşenlerinin faz kaymasının -90 ° pozitif frekans bileşenlerinin fazı etkisi var. Ve i·H(u)(t) pozitif frekans bileşenleri geri yüklemenin etkisi +90° eklenen negatif frekans var iken,bu olusuzlama ile sonuçlanıyor.

Hilbert dönüşümü yaparken iki kez uygulanır,u(t)nin fazı negatif ve pozitif frekans bileşenlerinin sırasıyla +180° ve −180° ile kayar, bu eşdeğer miktardadır.İşaret olumsuzlanır; yani, H(H(u)) = u, çünkü:

Seçili Hilbert dönüşümleri tablosu

İşaret
Hilbert dönüşümü[fn 1]
[fn 2]
[fn 2]
Sinc fonksiyon
Dörtgen fonksiyon
Dirac delta fonksiyon
Karakteristik Fonksiyon
Notlar
  1. Bazı yazarlar (örneğin, Bracewell)ileri dönüşüm tanımını burada H olarak kullanılıyor.Bir sonuç olarak, bu tablonun sağ kolonunun olumsuzlanmış olacak olmasıdır.
  2. 1 2 Eğer integral tanımlamada bir endişe varsa sin ve cosun Hilbert dönüşümü dağılımsal olarak tanımlanabilir aksi takdirde koşullu yakınsaktır. Periyodik ortamda bu sonuç, herhangi bir zorluk olmadan tutar.

Hilbert dönüşümlerinin kapsamlı bir tablosu (King 2009). Unutmadan bir sabitin Hilbert dönüşümü sıfırdır.

Ayrıca bakınız

Notlar

    Kaynakça

    Dış bağlantılar

    This article is issued from Vikipedi - version of the 3/12/2015. The text is available under the Creative Commons Attribution/Share Alike but additional terms may apply for the media files.