Hilbert dönüşümü

Matematik ve sinyal işlemede, Hilbert dönüşümü için bir fonksiyon bir doğrusal operatör,u(t) alınır, ve aynı domen ile,H(u)(t) fonksiyonu üretilir David Hilbert ilk olarak holomorfik fonksiyonlarda Riemann-Hilbert probleminin özel bir durumunu çözmek için operatörü tanıttı ve fonksiyon onun adına ithaf edilmiştir.Bu Fourier analizi içinde temel araçtır, ve belirli bir fonksiyon veya Fourier serilerinin harmonik eşleniğinin gerçekleştirilmesi için somut bir araç sağlar. Ayrıca, harmonik analizde, bu bir tekil integral işlemci ve bir Fourier çarpanının bir örneğidir.Hilbert dönüşümü, bir u(t) sinyalinin analitik gösterimini elde etmek için kullanılan sinyal işleme alanında da önemlidir.

Hilbert dönüşümü aslında bu Hilbert çekirdeği evrişimi ile birlikte verildiği durumda, periyodik fonksiyonlar için tanımlanmış, veya eşdeğer daire üzerindeki fonksiyonlar için yapıldı. Ancak daha yaygın olarak,Hilbert dönüşümü R gerçel eksen üzerinde ( üst yarı-düzlemin sınırı) tanımlanmış fonksiyonlar için, Cauchy çekirdeği ile birlikte bir evrişim anlamına gelir.Hilbert dönüşümü Paley-Wiener teoremi ile yakından ilişkilidir, üst yarı-düzlem ve gerçek eksen üzerindeki fonksiyonların Fourier dönüşümleri holomorfik fonksiyonlarla ilişkili bir diğer sonuçtur.

bir kare dalga mavi ile,Hilbert dönüşümü kırmızı ile

Giriş

u nun Hilbert dönüşümü h(t) = 1/(πt) fonksiyonu ile u(t) nin evrişimi olarak düşünülebilir.çünkü h(t) yakınsak olmayan evrişim tanımlayan integraller integrallenebilir değildir. Bunun yerine,Hilbert dönüşümü Cauchy temel değeri kullanılarak tanımlanır(burada p.v. ile gösterilir).Açıkça,bir fonksiyonun (veya sinyalin) Hilbert dönüşümü u(t) tarafından şöyle verilir:

${\displaystyle H(u)(t)={\text{p.v.}}\int _{-\infty }^{\infty }u(\tau )h(t-\tau )\,d\tau ={\frac {1}{\pi }}\ {\text{p.v.}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {u(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau }$ sağlanan bu integral bir temel değer olarak bulunmaktadır.Bu Pv temperli dağılım ile unun evrişimi tamdır 1/πt (hem Schwartz ( 1950); hem de Pandey ( 1996, Bölüm 3) ye bakınız ). Alternatif olarak, değişkenleri değiştirerek integral temel değeri Zygmund 1968, §XVI.1 açıkça şöyle yazılabilir

${\displaystyle H(u)(t)=-{\frac {1}{\pi }}\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {u(t+\tau )-u(t-\tau )}{\tau }}\,d\tau }$

Hilbert dönüşümü bir u fonksiyonuna arka arkaya iki kez uygulandığında ,sonuç negatif u olur

${\displaystyle H(H(u))(t)=-u(t)}$

ard arda tanımlayan her integral uygun bir anlamda yakınsak verilmiştir.Özellikle,−H ters dönüşümüdür.u(t) nin Fourier dönüşümü üzerinde Hilbert dönüşümünün etkisi düşünüldüğünde bu gerçek çok kolay görülebilir(bkz: Fourier dönüşümü ile ilişkililik,aşağıda). Bir analitik fonksiyon üst yarı-düzlem içinde Hilbert dönüşümü için sınır değerlerin gerçek bir parçası ve ve hayali parçası arasındaki ilişkiyi açıklar.f(z) düzlemde Im z > 0 ve u(t) = Re f(t + 0·i ) Yani, eğer Im f(t + 0·i ) = H(u)(t) ek bir sabit kadar,Hilbert dönüşümünün varlığını sağlar.

Gösterim

sinyal işlemede u(t)nin Hilbert dönüşümü yaygın olarak ${\displaystyle {\widehat {u}}(t)\,}$ (örn., Brandwood 2003, pg 87) ile gösterilir.Ancak, matematikte, bu u(t) notasyonu zaten yoğun olarak Fourier dönüşümünü belirtmek için kullanılır (örneğin,Stein & Weiss 1971). Bazen, Hilbert dönüşümü ${\displaystyle {\tilde {u}}(t)}$ ile gösterilebiliyor. Ayrıca, birçok kaynakta Hilbert dönüşümü burada tanımlananın bir (örneğin, Bracewell 2000, sf 359) negatifi olarak tanımlanır.

Tarihçe

Hilbert dönüşümü analitik fonksiyonlar açısından Riemann tarafından ortaya atılan bir sorun üzerinde Hilbert'in 1905 çalışmasında ortaya çıktı (Khvedelidze 2001; Hilbert 1953) Riemann-Hilbert problemi olarak bilinen hale geldi. Hilbert'in çalışması (Khvedelidze 2001, Hilbert 1953) çemberin üzerinde tanımlı fonksiyonlar için Hilbert dönüşüm ile odaklı idi.Ayrık Hilbert dönüşümü ile ilgili daha önceki çalışmaların bazılarını geri Göttingene dönüşünde verdi Sonuçlar daha sonra Hardy, Littlewood & Polya 1952, §9.1 doktora tezinde Hermann Weyl tarafından yayınlanmıştır. Schur ayrık Hilbert dönüşümü hakkında Hilbert'in sonuçlarını geliştirmişti ve Hardy, Littlewood & Polya 1952, §9.2 İntegral durum için bunları genişletti. Bu sonuçlar L² ve ℓ² uzayları ile sınırlı idi. 1928 yılında Marcel Rieszin Hilbert dönüşümü p 'nin aynı aralık için L^p(R) üzerinde sınırlı operatör olduğunu, 1 ≤ p ≤ ∞ için L^p(R) içinde u için tanımlanabilir, ve benzer olabileceğini kanıtladı Hilbert çember dönüşümü yanı sıra ayrık Hilbert Riesz 1928 dönüşümü içinde sonuçlar tutar.Tekil integrallerin Hilbert dönüşümü (Calderón & Zygmund 1952) kendi çalışması sırasında Antoni Zygmund ve Alberto Calderón için motive edici bir örnek oldu. Onların araştırmaları, modern harmonik analizde temel bir rol oynamıştır. Hilbert'in bileneer ve trilineer gibi çeşitli genellemeleri bugün Hilbert dönüşümünün hala aktif araştırma alanlarıdır.

Fourier dönüşümü ile ilişkililik

Hilbert dönüşümü bir çarpan işlemcidir Duoandikoetxea 2000, Chapter 3. Hnın sembolü σ_H(ω) = −i sgn(ω) dir., burada sgn signum fonksiyondur. Bunun için:

${\displaystyle {\mathcal {F}}(H(u))(\omega )=(-i\,\operatorname {sgn} (\omega ))\cdot {\mathcal {F}}(u)(\omega )}$

burada ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ Fourier dönüşümü nedeniyle sgn(x) = sgn(2πx),${\displaystyle {\mathcal {F}}}$nin üç yaygın tanımı için uygulanan sonuçlar aşağıdadır.

Euler formülü ile,

${\displaystyle \sigma _{H}(\omega )={\begin{cases}i=e^{+{\frac {i\pi }{2}}},&{\mbox{for }}\omega <0\\0,&{\mbox{for }}\omega =0\\-i=e^{-{\frac {i\pi }{2}}},&{\mbox{for }}\omega >0\end{cases}}}$

Bunun için H(u)(t) ile ve −90° ile +90° (π/2 radyan) u(t)nin negatif frekans bileşenlerinin faz kaymasının -90 ° pozitif frekans bileşenlerinin fazı etkisi var. Ve i·H(u)(t) pozitif frekans bileşenleri geri yüklemenin etkisi +90° eklenen negatif frekans var iken,bu olusuzlama ile sonuçlanıyor.

Hilbert dönüşümü yaparken iki kez uygulanır,u(t)nin fazı negatif ve pozitif frekans bileşenlerinin sırasıyla +180° ve −180° ile kayar, bu eşdeğer miktardadır.İşaret olumsuzlanır; yani, H(H(u)) = −u, çünkü:

${\displaystyle {\big (}\sigma _{H}(\omega ){\big )}^{2}=e^{\pm i\pi }=-1\qquad {\text{for }}\omega \neq 0}$

Seçili Hilbert dönüşümleri tablosu

İşaret ${\displaystyle u(t)\,}$	Hilbert dönüşümü[fn 1] ${\displaystyle H(u)(t)}$
${\displaystyle \sin(t)}$ [fn 2]	${\displaystyle -\cos(t)}$
${\displaystyle \cos(t)}$ [fn 2]	${\displaystyle \sin(t)\,}$
${\displaystyle \exp \left(it\right)}$	${\displaystyle -i\exp \left(it\right)}$
${\displaystyle \exp \left(-it\right)}$	${\displaystyle i\exp \left(-it\right)}$
${\displaystyle 1 \over t^{2}+1}$	${\displaystyle t \over t^{2}+1}$
Sinc fonksiyon ${\displaystyle \sin(t) \over t}$	${\displaystyle 1-\cos(t) \over t}$
Dörtgen fonksiyon ${\displaystyle \sqcap (t)}$	${\displaystyle {1 \over \pi }\log \left|{t+{1 \over 2} \over t-{1 \over 2}}\right|}$
Dirac delta fonksiyon ${\displaystyle \delta (t)\,}$	${\displaystyle {1 \over \pi t}}$
Karakteristik Fonksiyon ${\displaystyle \chi _{[a,b]}(t)\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\log \left\vert {\frac {t-a}{t-b}}\right\vert }$

Notlar

1. Bazı yazarlar (örneğin, Bracewell)ileri dönüşüm tanımını burada −H olarak kullanılıyor.Bir sonuç olarak, bu tablonun sağ kolonunun olumsuzlanmış olacak olmasıdır.
2. Eğer integral tanımlamada bir endişe varsa sin ve cosun Hilbert dönüşümü dağılımsal olarak tanımlanabilir aksi takdirde koşullu yakınsaktır. Periyodik ortamda bu sonuç, herhangi bir zorluk olmadan tutar.

Hilbert dönüşümlerinin kapsamlı bir tablosu (King 2009). Unutmadan bir sabitin Hilbert dönüşümü sıfırdır.

Ayrıca bakınız

• Analitik sinyal
• Harmonik eşlenik
• Hilbert Spektroskopisi
• karmaşık düzlem içinde Hilbert dönüşümü
• Hilbert-Huang dönüşümü
• Kramers-Kroning ilişkisi
• Tek-yan bant sinyali
• Evrişim türünün tekil integral operatörleri

Notlar

Kaynakça

• Bargmann, V. (1947), "Irreducible unitary representations of the Lorentz group", Ann. of Math. 48: 568–640 
• Bedrosian, E. (December 1962), "A Product Theorem for Hilbert Transforms", Rand Corporation Memorandum (RM-3439-PR), http://www.rand.org/content/dam/rand/pubs/research_memoranda/2008/RM3439.pdf 
• Benedetto, John J. (1996). Harmonic analysis and applications. Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 0849378796. 
• Bitsadze, A.V. (2001), "Boundary value problems of analytic function theory", Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104, http://eom.springer.de/b/b017400.htm .
• Bracewell, R. (1986), The Fourier Transform and Its Applications (2nd bas.), McGraw-Hill, ISBN 0-07-116043-4 .
• Calderón, A.P.; Zygmund, A. (1952), "On the existence of certain singular integrals", Acta Mathematica 88 (1): 85–139, DOI:10.1007/BF02392130 .
• Carlson, Crilly, and Rutledge (2002), Communication Systems (4th bas.), ISBN 0-07-011127-8 .
• Duoandikoetxea, J. (2000), Fourier Analysis, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2172-5 .
• Duistermaat, J.J. (2010), Distributions, Birkhäuser, DOI:10.1007/978-0-8176-4675-2, ISBN 978-0-8176-4672-1 .
• Duren, P. (1970), Theory of ${\displaystyle H^{p}}$-Spaces, New York: Academic Press .
• Fefferman, C. (1971), "Characterizations of bounded mean oscillation", Bull. Amer. Math. Soc. 77 (4): 587–588, DOI:10.1090/S0002-9904-1971-12763-5, MR 0280994, http://www.ams.org/bull/1971-77-04/S0002-9904-1971-12763-5/home.html .
• Fefferman, C.; Stein, E.M. (1972), "H^p spaces of several variables", Acta Math. 129: 137–193, DOI:10.1007/BF02392215, MR 0447953 .
• Gel'fand, I.M.; Shilov, G.E. (1967), Generalized Functions, Vol. 2, Academic Press .
• Grafakos, Loukas (1994), "An Elementary Proof of the Square Summability of the Discrete Hilbert Transform", American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 101 (5): 456–458, DOI:10.2307/2974910, JSTOR 2974910 .
• Grafakos, Loukas (2004), Classical and Modern Fourier Analysis, Pearson Education, Inc., ss. 253–257, ISBN 0-13-035399-X .
• Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; Polya, G. (1952), Inequalities, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-35880-9 .
• Hilbert, David (1953), Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen, Chelsea Pub. Co. 
• Khvedelidze, B.V. (2001), "Hilbert transform", Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104, http://eom.springer.de/H/h047430.htm .
• King, Frederick W. (2009), Hilbert Transforms, 2, Cambridge: Cambridge University Press, ss. 453, ISBN 978-0-521-51720-1 .
• Kress, Rainer (1989), Linear Integral Equations, New York: Springer-Verlag, ss. 91, ISBN 3-540-50616-0 .
• Lang, Serge (1985), SL(2,R), Graduate Texts in Mathematics, 105, Springer-Verlag, ISBN 0-387-96198-4 
• Pandey, J.N. (1996), The Hilbert transform of Schwartz distributions and applications, Wiley-Interscience, ISBN 0-471-03373-1 
• Pichorides, S. (1972), "On the best value of the constants in the theorems of Riesz, Zygmund, and Kolmogorov", Studia Mathematica 44: 165–179 
• Riesz, Marcel (1928), "Sur les fonctions conjuguées", Mathematische Zeitschrift 27 (1): 218–244, DOI:10.1007/BF01171098 
• Rosenblum, Marvin; Rovnyak, James (1997), Hardy classes and operator theory, Dover, ISBN 0-486-69536-0 
• Schwartz, Laurent (1950), Théorie des distributions, Paris: Hermann .
• Schreier, P.; Scharf, L. (2010), Statistical signal processing of complex-valued data: the theory of improper and noncircular signals, Cambridge University Press 
• Stein, Elias (1970), Singular integrals and differentiability properties of functions, Princeton University Press, ISBN 0-691-08079-8 .
• Stein, Elias; Weiss, Guido (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X .
• Sugiura, Mitsuo (1990), Unitary Representations and Harmonic Analysis: An Introduction, North-Holland Mathematical Library, 44 (2nd bas.), Elsevier, ISBN 0444885935 
• Titchmarsh, E (1926), "Reciprocal formulae involving series and integrals", Mathematische Zeitschrift 25 (1): 321–347, DOI:10.1007/BF01283842 .
• Titchmarsh, E (1948), Introduction to the theory of Fourier integrals (2nd bas.), Oxford University: Clarendon Press (yayın: 1986), ISBN 978-0-8284-0324-5 .
• Zygmund, Antoni (1968), Trigonometric series (2nd bas.), Cambridge University Press (yayın: 1988), ISBN 978-0-521-35885-9 .

Dış bağlantılar

• Derivation of the boundedness of the Hilbert transform
• Mathworld Hilbert transform — Contains a table of transforms
• Analytic Signals and Hilbert Transform Filters
• Eric W. Weisstein, Titchmarsh theorem (MathWorld)
• Mathias Johansson, "The Hilbert transform" a student level summary to Hilbert transformation. (via www.archive.org)
• GS256 Lecture 3: Hilbert Transformation, an entry level introduction to Hilbert transformation. (via www.archive.org)