Kac-Moody cebiri

Matematik, bir Kac–Moody cebri (Victor Kac ve Robert Moody adlarinda birbirinden bağımsız araştırmacılar) bir Lie cebridir, genellikle sonsuz-boyutlu,bu üreteçler ve ilişkiler yoluyla bir genelleştirilmiş Cartan matrisi tanımlanabilir. Bu cebir formu yarıbasit Lie cebrinin sonlu-boyutlu bir genellemesidir, ve indirgenemeyen gösterim gibi birçok özelliği Lie cebirinin yapısıyla kök sistemi olarak ilişkilidir,ve bayrak manifold un bağlantısıyla Kac–Moody çerçevesinde doğal analoglar var.

Kac–Moody cebri nin bir sınıfı afin Lie cebiridir.Matematikte ve teorik fizikte,özellikle açıkorur alan teorisi ve tam çözülebilen modelinin teorisinde özel öneme sahiptir. Kac belirli kombinatoryal özdeşliklerin seçkin bir özelliğini keşfetti,Macdonald özdeşliği, bunun tabanı Kac–Moody afin cebrinin gösterim teorisi üzerindedir . Howard Garland ve James Lepowsky Rogers-Ramanujan özdeşliği gösterimi bir benzer teşhir içindeki türevleri olabilir.^[1]

Kac-Moody cebrinin Tarihi

Cartan tamsayılarından Basit Lie cebirlerinin Élie Cartan ve Wilhelm Killing tarafından başlangıçta inşa edilmiş sonlu boyutlu bağımlı tipi idi. Jean-Pierre Serre 1966 yılında Claude Chevalley ve Harish-Chandradan bu ilişkiyi gösterdi,^[2] ile Nathan Jacobson tarafından basitleştirildi,^[3] Lie cebiri için tanımlanmış bir gösterimi verdi.^[4] One üreteçlerin terimleri içinde bir basit Lie cebiri böyle tanıtılabilir ve Cartan tamsayılarının matrisinde kullanılan veri ile ilişkilidir , bu doğal olarak pozitif tanımdır.

Onun 1967 tezi içinde, Robert Moodynin Cartan matrisi Lie cebirinde dikkat ettiği uzun olmayan pozitif tanımdır.^[5][6] Bu yinede still gave rise to bir Lie cebirine yol açar, ama bu şimdi bir sonsuz boyutludur.Eşzamanlı olarak, Z-dereceli Lie cebirinin Moskovada inceledi. burada I. L. Kantor Lie cebirinin genel bir sınıfının içeriğini inceledi ve tanıttı sonuç olarak Kac–Moody cebiri olarak biliniyor.^[7] Victor Kac ayrıca basit veya basite yakın Lie cebiri ile polinomsal büyümeyi inceliyordu. sonsuz boyutlu Lie cebirinin zengin bir matematiksel teorisi gelişti. Ayrıca diğerlerinin çalışmalarını içeren konunun bir bağlantısı(Kac 1990) verilmiştir.^[8] Ayrıca bakınız (Seligman 1987).^[9]

Tanımlar

Bir Kac–Moody cebirinde aşağıdaki özellikler verilir:

1. Bir n×n geneleştirilmiş Cartan matrisi C = rank rnin (c_ij).
2. Bir vektör uzayı ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$2n − r boyutunun üzerinde karmaşık sayılardır .
3. n in doğrusal bağımsız bir alt kümesi ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$nin ${\displaystyle \alpha _{i}^{\vee }\ }$ ögesi ve n doğrusal bağımsız ögelerinin bir kümesi ikili uzay ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ ının ${\displaystyle \alpha _{i}}$ dır, böylece ${\displaystyle \alpha _{i}(\alpha _{j}^{\vee })=c_{ji}}$. ${\displaystyle \alpha _{i}}$ basit köklere bir yarı-basit Lie cebiri ve basit eşköküne analogu ${\displaystyle \alpha _{i}^{\vee }}$ dir.

Kac–Moody cebiri Lie cebiri ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ dir ve üreteçleri tarafından tanımlanan ${\displaystyle e_{i}}$ ve ${\displaystyle f_{i}}$ (${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$) ve ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ögelerinin ve ilişkileri

• ${\displaystyle [h,h']=0\ }$ için ${\displaystyle h,h'\in {\mathfrak {h}}}$;
• ${\displaystyle [h,e_{i}]=\alpha _{i}(h)e_{i}}$, için ${\displaystyle h\in {\mathfrak {h}}}$;
• ${\displaystyle [h,f_{i}]=-\alpha _{i}(h)f_{i}}$, için ${\displaystyle h\in {\mathfrak {h}}}$;
• ${\displaystyle [e_{i},f_{j}]=\delta _{ij}\alpha _{i}^{\vee }}$, burada ${\displaystyle \delta _{ij}}$ Kronecker deltadır;
• ${\displaystyle {\textrm {ad}}(e_{i})^{1-c_{ij}}(e_{j})=0}$ ve ${\displaystyle {\textrm {ad}}(f_{i})^{1-c_{ij}}(f_{j})=0}$, burada ${\displaystyle {\textrm {ad}}:{\mathfrak {g}}\to {\textrm {End}}({\mathfrak {g}}),{\textrm {ad}}(x)(y)=[x,y],}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ nin ek gösterimlerdir .

Bir gerçek (olası sonlu-boyutlu) Lie cebiri ayrıca bir eğer onun karışıklığı bir Kac–Moody cebiri ise Kac–Moody cebiri kabul edilir.

Bir Kac-Moody cebirinin kök-uzay bozunumu

Kac–Moody cebiri ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ için ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ bir Cartan altcebirinin analogudur.

Eğer ${\displaystyle x\neq 0}$ ifadesi ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$nin bir ögesi ise ve böylece

${\displaystyle \forall h\in {\mathfrak {h}},[h,x]=\lambda (h)x}$

bazı ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}\backslash \{0\}}$ için, ise ${\displaystyle x}$ bir kök vektör deniyor ve ${\displaystyle \lambda }$ ifadesi ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$nin bir köküdür. (sıfır fonksiyonel bir kök kuralı ile kabul edilmiyor.) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ nin tüm kökleri nin kümesi sıklıkla ${\displaystyle \Delta }$ ve bazen ${\displaystyle R}$ ile ifade edilir . ${\displaystyle \lambda }$ kökü için verilen ${\displaystyle \lambda }$nın ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }}$ kök uzayı ile ifade edilir, bu

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }=\{x\in {\mathfrak {g}}:\forall h\in {\mathfrak {h}},[h,x]=\lambda (h)x\}}$.

${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ tanım ilişkisinden devamla bu ${\displaystyle e_{i}\in {\mathfrak {g}}_{\alpha _{i}}}$ ve ${\displaystyle f_{i}\in {\mathfrak {g}}_{-\alpha _{i}}}$. Ayrıca, Eğer

${\displaystyle x_{1}\in {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}}}$ ve ${\displaystyle x_{2}\in {\mathfrak {g}}_{\lambda _{2}}}$, ise ${\displaystyle [x_{1},x_{2}]\in {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}$ Jacobi özdeşliği ile dir.

Teorinin temel bir sonucu bu herhangi Kac–Moody cebiri ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ nın ve onun kök uzayı doğrudan toplamı içine ayrışıyor olabilir, bu

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\lambda \in \Delta }{\mathfrak {g}}_{\lambda }}$,

ve bu her ${\displaystyle \lambda }$ kökü ${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{n}z_{i}\alpha _{i}}$ ile tüm ${\displaystyle z_{i}}$ olarak yazılabilir aynı işaretin tamsayıları oluyor.

Kac–Moody cebirlerinin tipleri

Genelleştirilmiş Cartan matrisi C nin cebrik özellikleri Kac–Moody cebirinin özelliklerini kontrol ediyor o Kac–Moody cebiri sınıflandırmasının içindeki düzendir, burada bozunamaz bir matris olan C nin durumunu düşünmek yeterlidir , söyleki, varsayalım I indis kümesinin bozunmamış bir ayrık biriminin içinde boş-olmayan alt-küme I₁ ve I₂ olsun,böylece C_ij = 0 tüm I₁ içinde i ve I₂ içinde j , bu genelleştirilmiş Cartan matrisinin herhangi bir ayrışmasına karşı-gelen Kac-Moody cebirinin direkt toplamının ayrışmasına yol açar:

${\displaystyle {\mathfrak {g}}(C)\simeq {\mathfrak {g}}(C_{1})\oplus {\mathfrak {g}}(C_{2}),}$

burada iki Kac–Moody cebiri elin sağ tarafı içinde C nin altmatrisleri ile ilişkili I₁ ve I₂ kümesinin indislerine karşılık gelir..

Kac–Moody cebrinin önemli bir altsınıfı simetrikleştirilebilir genelleştirilmiş Cartan matrisleri C ye karşılık gelir, bu DS olarak ayrıştırılamaz, burada D bir köşegen matris e pozitif tamsayı girişi ve S bir simetrik matristir.Bu varsayımlar altında C simetrikleştirilebilir ve ayrıştırılamaz,Kac–Moody cebri içinde üç sınıfa bölünüyor:

• Bir S pozitif tanımlı matris bir sonlu boyutlu basit Lie cebirine yol açar.
• Bir S pozitif yarı-tanımlı matris afin tipin bir sonlu boyutlu Kac–Moody cebiri, veya bir afin Lie cebirine yol açar.
• Bir S Tanımsız matris tanımsız tipin bir Kac–Moody cebirine yol açar.
• Dolayısıyla C ve Snin köşegen girişleri pozitiftir, S negatif tanım veya negatif yarıtanımlı olamaz.

sonlu ve afin(kayık) tipin simetrize ayrıştırılamıyan geneleştirilmiş Cartan matrislerinin tamlı olarak sınıflandırması var. Bu Dynkin diyagramına ve afin Dynkin diyagramına karşı gelir. Çok küçük tanımsız tip Kac–Moody cebiri hakkında bilinendir.Bunlarin arasında, ana odak hiperbolik tipin (geneleştirilmiş) Kac–Moody cebiri olani var, bunun için S matrisi tanımsızdır, ama I nın her uygun altkümesi için, altmatrisine karşılık pozitif tanımlidır veya pozitif yarıtanımlidır. Böylece matrislerin 10'dan fazla ve ayrıca belirlenmiş tamlık olani var.^[10]

Ayrıca bakınız

• Weyl–Kac karakter formülü
• Genelleştirlmiş Kac–Moody cebiri

Notlar

1. (?) Garland, H.; Lepowsky, J. (1976). "Lie algebra homology and the Macdonald-Kac formulas". Invent. Math. 34 (1): 37–76. DOI:10.1007/BF01418970. 
2. Harish-Chandra (1951). "On some applications of the universal enveloping algebra of a semisimple Lie algebra". Trans. Amer. Math. Soc. 70 (1): 28–28. DOI:10.1090/S0002-9947-1951-0044515-0. JSTOR 1990524. 
3. Jacobson, N. (1962). Lie algebras. Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics. 10. New York-London: Interscience Publishers (a division of John Wiley & Sons). 
4. Serre, J.-P. (1966) (French). Algèbres de Lie semi-simples complexes. New York-Amsterdam: W. A. Benjamin. 
5. Moody, R. V. (1967). "Lie algebras associated with generalized cartan matrices". Bull. Amer. Math. Soc. 73 (2): 217–222. DOI:10.1090/S0002-9904-1967-11688-4. http://www.ams.org/journals/bull/1967-73-02/S0002-9904-1967-11688-4/S0002-9904-1967-11688-4.pdf. 
6. Moody 1968, A new class of Lie algebras
7. Kantor, I. L. (1970). "Graded Lie algebras" (Russian). Trudy Sem. Vektor. Tenzor. Anal. 15: 227–266. 
8. Kac, 1990
9. Seligman, George B. (1987). "Book Review: Infinite dimensional Lie algebras". Bull. Amer. Math. Soc.. N.S. 16 (1): 144–150. DOI:10.1090/S0273-0979-1987-15492-9. 
10. Carbone, L.; Chung, S.; Cobbs, C.; McRae, R.; Nandi, D.; Naqvi, Y.; Penta, D. (2010). "Classification of hyperbolic Dynkin diagrams, root lengths and Weyl group orbits". J. Phys. A: Math. Theor. 43 (15): 155209. arXiv:1003.0564. DOI:10.1088/1751-8113/43/15/155209. 

Kaynakça

• R.V. Moody, A new class of Lie algebras, J. of Algebra, 10 (1968) pp. 211–230
• V. Kac, Infinite dimensional Lie algebras, 3rd edition, Cambridge University Press (1990) ISBN 0-521-46693-8
• A. J. Wassermann, Lecture notes on Kac–Moody and Virasoro algebras
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Kac–Moody algebra", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104, http://eom.springer.de/K/k055050.htm 
• V.G. Kac, Simple irreducible graded Lie algebras of finite growth Math. USSR Izv., 2 (1968) pp. 1271–1311, Izv. Akad. Nauk USSR Ser. Mat., 32 (1968) pp. 1923–1967
• S. Kumar, Kac-Moody Groups, their Flag Varieties and Representation Theory, 1st edition, Birkhäuser (2002). ISBN 3-7643-4227-7.

Dış bağlantılar

• SIGMA: Special Issue on Kac-Moody Algebras and Applications