Kerr-Newman metriği

Kerr–Newman metriği genel relativitide yüklü, dönen kütlelerin çevresindeki uzay zaman geometrisini tarif eden Einstein–Maxwell denklemlerinin çözümüdür. Bu çözüm astrofizik alanındaki fenomenler için pek faydalı sayılmaz çünkü gözlemlenebilen astronomik objeler kayda değer net yük taşımazlar. Bu çözüm uygulama alanı yerine daha çok teorik fizik ve matematiksel ilginin bir sonucudur. (Kozmolojik sabit sıfırdır ifadesi doğru olmaya çok yakındır)

Tarihçe

1965 yılında, Ezra "Ted" Newman, hem dönen hem yüklü kara delikler için Einstein'ın alan denklemlerinin axisimetrik çözümünü buldu.^[1][2] Metrik tensor ${\displaystyle g_{\mu \nu }\!}$ için bu formül Kerr–Newman metriği adını aldı. İki yıl önce Roy Kerr tarafından bulunan yüksüz ama dönen noktasal kütle için olan Kerr metriğinin geliştirilmiş haliydi.^[3]

Bu dört çözüm şu tablodaki gibi özetlenebilir:

	Dönmeyen (J = 0)	Dönen (J ≠ 0)
Yüksüz (Q = 0)	Schwarzschild	Kerr
Yüklü (Q ≠ 0)	Reissner–Nordström	Kerr–Newman

Bu tabloda Q elektrik yükünü gösterirken, J açısal momentumu simgelemektedir.

Matematiksel Formu

Kerr–Newman metriği, Yükü Q olan ve M kütleli dönen kütlenin civarındaki geometriyi tarif eder. Bu metrik için formül hangi kordinatların veya kordinat kolullarının seçildiğine dayanır. Bu metriği tarif etmenin yollarından biri çizgi elementini belirli silindirik kordinatlarda (Boyer–Lindquist koordinatları olarak da bilinir) yazmaktır.

${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=-\left({\frac {dr^{2}}{\Delta }}+d\theta ^{2}\right)\rho ^{2}+\left(c\,dt-\alpha \sin ^{2}\theta \,d\phi \right)^{2}{\frac {\Delta }{\rho ^{2}}}-\left(\left(r^{2}+\alpha ^{2}\right)d\phi -\alpha c\,dt\right)^{2}{\frac {\sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}}}$

(r, θ, ϕ) kordinatları standart küresel kordinat sistemi, ve uzunluk ölçüsüyken:

${\displaystyle \alpha ={\frac {J}{Mc}}\,,}$

${\displaystyle \ \rho ^{2}=r^{2}+\alpha ^{2}\cos ^{2}\theta \,,}$

${\displaystyle \ \Delta =r^{2}-r_{s}r+\alpha ^{2}+r_{Q}^{2}\,,}$

kısalığından dolayı bilinmektedir. Burada r_s çok büyük bir objenin (Bu da kütlesiyle alakalıdır) Schwarzschild yarıçapıdır (metre cinsinden) .

${\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}}$

G kütleçekim sabitiiken r_Q kütlenin elektriksel yükü Q'ya denk gelen uzunluğudur.

${\displaystyle r_{Q}^{2}={\frac {Q^{2}G}{4\pi \epsilon _{0}c^{4}}}}$

1/4πε₀ Coulomb kuvvet sabiti.

Alternatif metrik formu

izole edilmiş metrik tensör ile beraver Kerr–Newman metriğin formu:

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}d\tau ^{2}&={\frac {(\Delta -\alpha ^{2}\sin ^{2}\theta )}{\rho ^{2}}}\;c^{2}\;dt^{2}-\left({\frac {\rho ^{2}}{\Delta }}\right)dr^{2}\\&-\rho ^{2}d\theta ^{2}+(\alpha ^{2}\Delta \sin ^{2}\theta -r^{4}-2r^{2}\alpha ^{2}-\alpha ^{4}){\frac {\sin ^{2}\theta \;d\phi ^{2}}{\rho ^{2}}}\\&-(\Delta -r^{2}-\alpha ^{2}){\frac {2\alpha \sin ^{2}\theta \;c\;dt\;d\phi }{\rho ^{2}}}\end{aligned}}}$

Alternatif (Kerr–Schild) formulasyonu

Kerr–Newman metriği aşağıdaki belirli kartezyen kordinatları kullanılarak "Kerr–Schild" formunda ifade edilebilir^[4][5][6]. Bu çözümler Kerr ve Schild tarafından 1965 yılında yayınlandı.

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+fk_{\mu }k_{\nu }\!}$

${\displaystyle f={\frac {Gr^{2}}{r^{4}+a^{2}z^{2}}}\left[2Mr-Q^{2}\right]}$

${\displaystyle \mathbf {k} =(k_{x},k_{y},k_{z})=\left({\frac {rx+ay}{r^{2}+a^{2}}},{\frac {ry-ax}{r^{2}+a^{2}}},{\frac {z}{r}}\right)}$

${\displaystyle k_{0}=1.\!}$

Burada dikkat edilmesi gereken nokta k nın birim vektörolduğudur. M dönen cismin sabit kütlesi, Q dönen cismin sabit yükü, η Minkowski tensorü, ve a dönen cismin sabit rotasyonel parametresidir. Buradan ${\displaystyle {\vec {a}}}$vektörünün pozitif z-ekseni doğrultusunda olduğu anlaşılır. Burada r yarıçap değildir, onun yerine şu şekilde elde edilir:

${\displaystyle 1={\frac {x^{2}+y^{2}}{r^{2}+a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{r^{2}}}}$

Şimdi r yarı çap olmuştur

${\displaystyle R={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

Rotasyonel parametreler sıfıra giderken. Çözümün bu formunda, ışık hızının tekliği (c = 1) olacak şekilde seçilir. Einstein–Maxwell denklemlerininhepsini sağlaması için Kerr–Newman çözümünün metrik tensör için formül içermesi yetmez, aynı zamanda elektromagnetik potansiyel için de formül içermelidir:^[4][7]

${\displaystyle A_{\mu }={\frac {Qr^{3}}{r^{4}+a^{2}z^{2}}}k_{\mu }}$

Kaynaktan çok büyük uzaklıklarda (R >> a), bu denklem Reissner–Nordström metriğine indirgenir:

${\displaystyle A_{\mu }={\frac {Q}{R}}k_{\mu }}$

Kerr–Newman metriğin Kerr–Schild formunda, metrik tensörün negatif olduğu yerler belirler, kaynağa yakın olan yerlerde bile.^[8]

Özel durumlar ve genellemeler

Kerr–Newman metriği genel rölativitedeki diğer kesin sonuçların genellemesidir:

• Kerr metriği eğer yük Q sıfır ise.
• Reissner–Nordström metriği eğer açısal momentum J (veya a) sıfır ise.
• Schwarzschild metriği eğer yük Q ve açısal momentum J (veya a) sıfır ise.
• Minkovski metriği eğer kütle M, yük Q ve rotasyonel parametre a sıfır ise. Ayrıca, eğer yer çekimi ortadan kaldırılırsa Minkowski uzayı ortaya çıkar eğer yerçekimi sabiti G sıfır ise (yüklü magnetik dipolün alanından daha karışık olan elektrik ve magnetik alanlarla birlikte).

Kerr–Newman çözümü (kozmolojik sabitin sıfır olmasıyla beraber) ayrıca Einstein–Maxwell denklemlerinin daha özelleştirilmiş halidir.^[8]

Çözümün bazı yönleri

Newman'ın sonucu dört boyuttaki elektromanyetik alanın varlığında Einstein denklemlerinin en basit sabit, axisimetrik, asimptotik düz çözümüydü. Bazen Einstein denklemlerinin "elektrovakum" çözümü olarak da bilinir.

Herhangi bir Kerr–Newman kaynağı kendi manyetik eksenine eşlik eden rotasyon eksenine sahiptir.^[9] Bunun sonucunda da Kerr–Newman kaynağı gözlemleyebildiğimiz rotasyon ekseni ile manyetik momenti arasında kayda değer bir açı olan astronomik cisimlerden farklılık gösterir.^[10]

Eğer Kerr-Newman potansiyeli klasik elektron için bir model olarak değerlendirilirse, elektronun sadece manyetik bir dipol momenti olmadığını öngörür ve çok kutuplu model olarak degerlendirir.Örnek olarak dört kutuplu elektron modeli verilebilir^[11]. Dört kutuplu elektron modeli deneysel olarak henüz kanıtlanmamıştır.^[11]

G=0 limitinde, halkanın içinde yüklü disklerde alanı sonsuz şekilde dönen elektromanyetik alanlardır.Toplam alan enerjisi diskler için sonsuzdur bu yüzden G=0 limitinde sonsuz öz enerji problemini çözemez.^[12]

Yüksüz dönen kütlelerdeki Kerr ölçüsü gibi,Kerr-Newman dahilinde bir çözüm matematiksel olarak vardır fakat dönen kara deliklerin stabillik durumundan dolayı gerçek ölçülü bir temsili değildir. Kerr ölçüsünün genelleştirilmesini temsil etse de,astronomik amaçlar bakımından çok önemli olarak kabul edilmemektedir.Sebebi ise kara deliklerin önemli bir elektrik yükü içermesinin beklenemeyeceğidir. Kerr-Newman ölçüsü kara deliğin olay ufkunu ancak şu koşullarda sağlayabilmektedir:

${\displaystyle a^{2}+Q^{2}\leq M^{2}.}$

Eğer elektronun ve Q(uygunda belirlenmiş geometrik birimlerde)'nun M kütlesini aşmış olduğu ve ölçünün herhangi bir olay ufku olmadığı durumlarda bu sebepten dolayı kara delik elektronu gibi bir şeyin olamayacağını belirtir-sadece çıplak halka tekilliğinde.^[13] Böyle bir ölçü fiziksel olmayan bir değer olarak görülebilir ve halkanın kozmik sansürleme hipotezini ihlal ettiği durumlarda ve neden-sonuç görünümünü kapalı zaman kıvrımlarında olduğu gibi halkanın komşu yakınlığı ile ilgilidir.^[14]

Rus teorici Alaxander Burinskii 2007'de ''Bu çalışma esnasında Dirac denkleminin dalga fonskiyonu ve Kerr gemetrisinin spinor yapısının tam olarak uyuştuğunu elde ettik. Bu bize uzay zamandaki spesifik elektron yapısının Kerr-Newman geometrisini yansıttığı vaysaydırdı.Ayrıca elektronun Kerr-Newman'ın dairesel dizilimindeki Compton ölçüsünü belirlememize yardım etti.''.Burinskii kağıdı elektronu olay ufku olmayan yerçekimsel halka tekilliğinde sınırlandırılmış tanımlardı. Biraz da olsa kara delik özelliği vardı tam olarak tahmin edildiği gibi değildi.^[15]

Elektromanyetik alan

Elektrik ve manyetik alanların elde edilmesi için genelde şu yol izlenir:

• Dört potansiyel farklılaştırılarak elektromanyetik alanın düzgün tensorü elde edilir. Bu yolla üç boyutlu vektör geçişinin gösterimi de yapılabilir.

${\displaystyle A_{\mu }=\left(-\phi ,A_{x},A_{y},A_{z}\right)\,}$

• Statik elektrik ve manyetik alanlar ile vektör potansiyeli ve skaler potansiyelinin elde edilmesinin formule edilmesi şu şekildedir:

${\displaystyle {\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}\phi \,}$

${\displaystyle {\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}\,}$

• Manyetik alan, Kerr-Newman formulü'de dört potansiyel kullanılarak Kerr-Schild formunda elde edilmesinin formulü aşağıdaki gibidir:^[16]

${\displaystyle {\vec {E}}+i{\vec {B}}=-{\vec {\nabla }}\Omega \,}$

${\displaystyle \Omega ={\frac {Q}{\sqrt {({\vec {R}}-i{\vec {a}})^{2}}}}\,}$

Omega değeri (${\displaystyle \Omega }$), son denklemde Coulomb potansiyaline benzerdir. Bunun dışında yarıçapı vektörü hayali bir miktara kaydırılır. Bu durum 9. yüzyılda Fransız matematikçi Paul Émile Appell tarafından ele alınmıştır.^[17]

Kaynakça

1. Newman, Ezra; Janis, Allen (1965). "Note on the Kerr Spinning-Particle Metric". Journal of Mathematical Physics 6 (6): 915–917. Bibcode 1965JMP.....6..915N. DOI:10.1063/1.1704350. 
2. Newman, Ezra; et al., E.; Chinnapared, K.; Exton, A.; Prakash, A.; Torrence, R. (1965). "Metric of a Rotating, Charged Mass". Journal of Mathematical Physics 6 (6): 918–919. Bibcode 1965JMP.....6..918N. DOI:10.1063/1.1704351. 
3. Kerr, RP (1963). "Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special metrics". Physical Review Letters 11: 237–238. Bibcode 1963PhRvL..11..237K. DOI:10.1103/PhysRevLett.11.237. http://prola.aps.org/abstract/PRL/v11/i5/p237_1. 
4. Debney, G. et al. "Solutions of the Einstein and Einstein-Maxwell Equations," Journal of Mathematical Physics, Volume 10, page 1842 (1969). Especially see equations (7.10), (7.11) and (7.14).
5. Balasin, Herbert and Nachbagauer, Herbert. “Distributional Energy-Momentum Tensor of the Kerr-Newman Space-Time Family.” (Arxiv.org 1993), subsequently published in Classical and Quantum Gravity, volume 11, pages 1453–1461, abstract (1994).
6. Berman, Marcelo. “Energy of Black Holes and Hawking’s Universe” in Trends in Black Hole Research, page 148 (Kreitler ed., Nova Publishers 2006).
7. Burinskii, A. “Kerr Geometry Beyond the Quantum Theory” in Beyond the Quantum, page 321 (Theo Nieuwenhuizen ed., World Scientific 2007). The formula for the vector potential of Burinskii differs from that of Debney et al. merely by a gradient which does not affect the fields.
8. Stephani, Hans et al. Exact Solutions of Einstein's Field Equations (Cambridge University Press 2003). See page 485 regarding determinant of metric tensor. See page 325 regarding generalizations.
9. Punsly, Brian (10 May 1998). "High‐Energy Gamma‐Ray Emission from Galactic Kerr‐Newman Black Holes. I. The Central Engine". The Astrophysical Journal 498 (2): 646. Bibcode 1998ApJ...498..640P. DOI:10.1086/305561. http://iopscience.iop.org/0004-637X/498/2/640/. Erişim tarihi: 16 May 2013. "All Kerr-Newman black holes have their rotation axis and magnetic axis aligned; they cannot pulse." 
10. Lang, Kenneth. The Cambridge Guide to the Solar System, page 96 (Cambridge University Press, 2003).
11. Rosquist, Kjell. "Gravitationally Induced Electromagnetism at the Compton Scale," Arxiv.org (2006).
12. Lynden-Bell, D. "Electromagnetic Magic: The Relativistically Rotating Disk," Physical Review D, Volume 70, 105017 (2004).
13. Burinskii, Alexander. "The Dirac-Kerr electron," Arxiv.org (2005).
14. Carter, Brandon. Global Structure of the Kerr Family of Gravitational Fields, Physical Review 174, page 1559 (1968).
15. Burinskii, Alexander. "Kerr Geometry as Space-Time Structure of the Dirac Electron," Arxiv.org (2007).
16. Gair, Jonathan. "Boundstates in a Massless Kerr-Newman Potential".
17. Appell, Math. Ann. xxx (1887) pp. 155–156. Discussed by Whittaker, Edmund and Watson, George. A Course of Modern Analysis, page 400 (Cambridge University Press 1927).