Metrik tensor

Diferansiyel geometrinin matematiksel alanında metrik tensör bir çift v ve w tanjant vektör çiftinin girişleri olarak alınan bir manifold(örneğin uzayda bir yüzey gibi) üzerinde tanımlı bir fonksiyon tipidir.

Öklid uzayında vektörlerin nokta çarpımlarının bilinen özelliklerini çok genelleştirecek bir yolla g(v,w) bir gerçek sayı (skaler) üretir.

Bir nokta çarpım ile aynı şekilde, metrik tensörler,tanjant vektörlerin arasındaki açının uzunluğunu tanımlamak için kullanılır.

Her vektör metrik açısından pozitif bir uzunlukta ise bir metrik tensöre pozitif tanımlı denir.Pozitif tanımlı bir metrik tensör ile donatılmış bir manifold, bir Riemann manifoldu olarak bilinir.İntegrasyon ile, metrik tensör bir manifold üzerindeki eğrilerin uzunluğunu tanımlamak ve hesaplamak için izin verir. en küçük bir uzunluğa sahip bu iki (yerel) noktayı birleştiren eğri bir jeodezik olarak adlandırılır ve manifold içinde uzunluğu bir noktadan diğerine gitmek için bir yolcu olarak çapraz geçiş ihtiyacı olan uzaklık kabul edilir. Uzunluğun bu kavramı ile donatılmış, bir Riemann manifold yani bir metrik uzay noktaları p ve q nokta çiftlerinin değeri mesafe fonksiyonu d(p,q) ve mesafe p den q yadır.Tersine, metrik tensörün kendisi (uygun bir şekilde alınan) mesafe fonksiyonunun türevidir. Böylece metrik tensör manifold üzerinde sonsuz mesafeyi verir. Bir metrik tensör kavramı 19. yüzyılın başlarında böyle Carl Gauss gibi matematikçilerce bir anlamda bilinir iken, bir tensör olarak özellikleri, 20. yüzyıla kadar anlaşılmış değildi özellikle Gregorio Ricci-Curbastro ve Tullio Levi-Civita tarafından önce bir tensör kavramı kodlanmış. Metrik tensör, bir tensör alanının bir örneğidir,manifold üzerinde bir yerel koordinat sistemine göre, bir metrik tensör koordinat sistemindeki değişiklik altındaeşdeğişken dönüşümü girişleri bir simetrik matris formu alır, Böylece metrik tensör bir eşdeğişken simetrik tensördür. Görünümünün koordinat-bağımsız noktasından itibaren, bir metrik tensör noktadan noktayadüzgün değişir her tanjant uzay üzerinde dejenere olmayan simetrik çift doğrusal bir formu olarak tanımlanır.

Giriş

Onun 1827 Disquisitiones generales circa superficies curvas (Kavisli yüzeylerin genel araştırmaları) parametrik bir yüzey ele alır, Carl Friedrich Gauss Kartezyen koordinatlar u ve v iki yardımcı değişkenlere üzerindeki yüzeye bağlı üzerindeki x, y, ve z noktalarının koordinatları ile, böylece parametrik yüzey (bugünkü terim/terminoloji) bir vektör değerli fonksiyondur

${\displaystyle {\vec {r}}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))}$

(u,v) reel değişkenli bir sıralı çiftinin bağlı olduğu ve uv-düzleminde bir açık küme D içinde tanımlanmaktadır. Gauss'un 'araştırmaları baş amaçlarından biri (örneğin zorlamadan yüzeyi bükme gibi) uzayda bir dönüşüm uygulandı ise değişmeden kalan böyle bir fonksiyon tarafından tarif edilebilir yüzeyin bu özelliklerini veya aynı geometrik yüzeyinin, özellikle parametrik formu içinde bir değişikliği anlamak olmuştur.

Bir doğal tür, değişmez nicelik yüzeyi boyunca çizilen bir eğrinin uzunluğudur.

Diğeri, ortak bir noktada ya da bir yüzeyin aynı noktasında tanjant vektörlerde buluşan ve yüzey boyunca çizilen eğrilerin bir çifti arasındaki açıdır. Üçüncü bir nicelik bu yüzeyin bir parça bölgesidir. Bir yüzeyin bu değişmezlerinin çalışması, metrik tensörün modern kavramının öncülünü tanıtma yolunu Gauss açtı.

Yay uzunluğu

Eğer değişkenler u ve v bir üç değişken üzerinde bağlantıya almaktır, t, bir aralık [a,b] içinde değerler alınıyor, ise ${\displaystyle \scriptstyle {{\vec {r}}(u(t),v(t))}}$ M yüzeyi parametrik içinde bir parametrik eğri dışında iz olacak.Bu eğrinin yay uzunluğu integral ile veriliyor

${\displaystyle {\begin{aligned}s&=\int _{a}^{b}\left\|{\frac {d}{dt}}{\vec {r}}(u(t),v(t))\right\|\,dt\\&=\int _{a}^{b}{\sqrt {u'(t)^{2}\,{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{u}+2u'(t)v'(t)\,{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{v}+v'(t)^{2}\,{\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{v}}}\,\,\,dt.\end{aligned}}}$

burada ${\displaystyle \left\|\cdot \right\|}$ Öklidyen norm gösterimidir. Burada zincir kuralı uygulaması var, ve altsimge kısmi türevler ifade edilir (${\displaystyle \scriptstyle {\vec {r}}_{u}={\tfrac {\partial {\vec {r}}}{\partial u}}}$, ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {r}}_{v}={\tfrac {\partial {\vec {r}}}{\partial v}}}$). integrand sınırlıdır^[1] (karesel) diferensiyelin karekökünün eğriye

   

${\displaystyle ds^{2}=E\,du^{2}+2F\,du\,dv+G\,dv^{2}\,}$

(Denklem-1)

   

burada

   

${\displaystyle E={\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{u},\quad F={\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{v},\quad G={\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{v}.}$

(Denklem-2)

   

(DenklemNotu-1)içinde ds niceliğine çizgi ögesi denirken ds² Min ilk temel formu denir . sezgisel olarak, bu eğer u ile yerdeğiştirme geçirmenin karesinin temel kısmı ise gösterimi du birimleri ile artandır, ve v dv birimleri ile artandır.

matris gösterimi kullanılıyor, ilk temel form alınıyor

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&={\begin{bmatrix}du&dv\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du\\dv\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}}$

Koordinat dönüşümleri

varsayalım şimdi that bir farklı parameterizasyon u′ ve v′ değikenlerinin diğer çiftleri üzerinde bağlıya u ve v sağlayarak seçildi,yeni değişken için (DenklemNotu-2) analogunun ise

   

${\displaystyle E'={\vec {r}}_{u'}\cdot {\vec {r}}_{u'},\quad F'={\vec {r}}_{u'}\cdot {\vec {r}}_{v'},\quad G'={\vec {r}}_{v'}\cdot {\vec {r}}_{v'}.}$

(Denklem-2')

   

zincir kuralı matris denklemi yoluyla E′, F′, ve Eye G′ ,F, ve G ilişkilidir

   

${\displaystyle {\begin{bmatrix}E'&F'\\F'&G'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial u}{\partial u'}}&{\frac {\partial u}{\partial v'}}\\{\frac {\partial v}{\partial u'}}&{\frac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {\partial u}{\partial u'}}&{\frac {\partial u}{\partial v'}}\\{\frac {\partial v}{\partial u'}}&{\frac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}}$

(Denklem-3)

   

burada T üstsimge matris devriği ifadesidir.matris ile katsayıları koordinat değişikliğinin Jacobian matrisi ile dönüşümler bunun için bu yol içinde E, F, ve G olarak düzenlenmiştir

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}{\frac {\partial u}{\partial u'}}&{\frac {\partial u}{\partial v'}}\\{\frac {\partial v}{\partial u'}}&{\frac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}.}$

Bir dönüşüm matrisi bu yol içinde bunun bir türüdür bir tensör denir.Matris

${\displaystyle {\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}}$

(DenklemNotu-3)dönüşüm kuralı ile yüzeyin metrik tensörü olarak biliniyor.

Koordinat dönüşümleri altında yay uzunluğunun değişmezi

E, F, ve G katsayılarının bir sisteminin önemini ilk Ricci-Curbastro & Levi-Civita (1900) nun gözlediği bir koordinat sisteminden diğerine geçiş üzerinde bu yol içinde dönüşümdür. Sonuçta bu ilk temel form (DenklemNotu-1) ve koordinat sistem içinde değişiklikler altında değişmezlerdir ve E, F, ve Gnin sadece dönüşüm özelliklerinden bu aşağıda gerçekten de, zincir kuralı ile,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}du\\dv\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial u}{\partial u'}}&{\frac {\partial u}{\partial v'}}\\{\frac {\partial v}{\partial u'}}&{\frac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du'\\dv'\end{bmatrix}}}$

böylece

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&={\begin{bmatrix}du&dv\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du\\dv\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}du'&dv'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {\partial u}{\partial u'}}&{\frac {\partial u}{\partial v'}}\\{\frac {\partial v}{\partial u'}}&{\frac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {\partial u}{\partial u'}}&{\frac {\partial u}{\partial v'}}\\{\frac {\partial v}{\partial u'}}&{\frac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du'\\dv'\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}du'&dv'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E'&F'\\F'&G'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du'\\dv'\end{bmatrix}}\\&=(ds')^{2}.\end{aligned}}}$

Uzunluk ve açı

metrik tensörün diğer karşılaştırması, ayrıca Gauss ile düşünüldüğünde, yüzeye tanjant vektörlerin uzunluğunu hesaplamak hem de iki tanjant vektörler arasında açı için bir yol sağlar.Çağdaş anlamda,metrik tensör yüzeyin parametrik tanımının bağımsız bir şekilde tanjant vektörlerin içinde nokta çarpım ının hesabını sağlar .M parametrik yüzeyinin bir noktasında herhangi bir tanjant vektör formu içinde yazılabilir

${\displaystyle \mathbf {p} =p_{1}{\vec {r}}_{u}+p_{2}{\vec {r}}_{v}}$

p₁ ve p₂ için gerçek sayılar uygundur. Eğer iki tanjant vektörler

${\displaystyle \mathbf {a} =a_{1}{\vec {r}}_{u}+a_{2}{\vec {r}}_{v}}$

${\displaystyle \mathbf {b} =b_{1}{\vec {r}}_{u}+b_{2}{\vec {r}}_{v}}$

verilirse nokta çarpımın çiftdoğrusal kullanımı,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=a_{1}b_{1}{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{u}+a_{1}b_{2}{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{v}+b_{1}a_{2}{\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{u}+a_{2}b_{2}{\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{v}\\&=a_{1}b_{1}E+a_{1}b_{2}F+b_{1}a_{2}F+a_{2}b_{2}G\\&={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{bmatrix}}\end{aligned}}.}$

Bu a₁, b₁, a₂, ve b₂ dört değişkenin bir fonksiyonu açıktır. Bu daha kazançlı görünüyor, bununla beraber,bir fonksiyon olarak a = [a₁ a₂] ve b = [b₁ b₂] bileşen çifti alındığı için uv-düzlemi içinde vektörlerdir. İşte böyle

${\displaystyle g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=a_{1}b_{1}E+a_{1}b_{2}F+b_{1}a_{2}F+a_{2}b_{2}G.}$

yerleştirilir. Bu a ve b içinde bir simetrik fonksiyondur, bunun anlamı

${\displaystyle g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=g(\mathbf {b} ,\mathbf {a} ).}$

Bu ayrıca çiftdoğrusal bunun anlamı bu her değişken a ve b ayrı ayrı içinde doğrusaldır. Yani,

${\displaystyle g(\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {a'} ,\mathbf {b} )=\lambda g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )+\mu g(\mathbf {a'} ,\mathbf {b} ),\quad {\text{and}}}$

${\displaystyle g(\mathbf {a} ,\lambda \mathbf {b} +\mu \mathbf {b'} )=\lambda g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )+\mu g(\mathbf {a} ,\mathbf {b'} )}$

uv düzlemi içinde a, a′, b, ve b′ herhangi iki vektör için, ve herhangi gerçek sayılar μ ve λ.

Özel olarak,bir a tanjant vektörünün uzunluğu

${\displaystyle \|\mathbf {a} \|={\sqrt {g(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )}}}$

ile veriliyor ve açı θ a ve b iki vektör arasında

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}{\|\mathbf {a} \|\,\|\mathbf {b} \|}}.}$

ile hesaplanır

Bölge

Yüzey bölgesi diğer sayısal nicelik yalnızca kendi yüzeyi üzerinde bağlı ve ölçeklendirme ile ilgili olmalı. Eğer M yüzeyi uv-düzlemi içinde D domeni üzerinde ${\displaystyle {\vec {r}}(u,v)}$, fonksiyon ile ölçeklendirilir ise Min yüzey bölgesi integral ile verilir

${\displaystyle \iint _{D}\left|{\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}\right|\,du\,dv}$

burada × çapraz çarpım ifadesi, ve mutlak değer Öklidyen uzayı içinde bir vektörün uzunluğunu ifade eder.Çapraz çarpım için Lagrange denkliği ,integral ile yazılabilir

${\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{D}&{\sqrt {({\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{u})({\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{v})-({\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{v})^{2}}}\,du\,dv\\&\quad =\iint _{D}{\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv\\&\quad =\iint _{D}{\sqrt {\operatorname {det} {\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}}}\,du\,dv\end{aligned}}}$

burada det determinanttır.

Metriğin bileşenleri

vektör alanının herhangi tabanı içinde metriğin bileşenleri, veya , f = (X₁, …, X_n) çerçevesi ^[2] ile

   

${\displaystyle g_{ij}[\mathbf {f} ]=g\left(X_{i},X_{j}\right).}$

(Denklem-4)

    veriliyor

n² bir n×n simetrik matrisin giriş formu g_ij[f] fonksiyonları, G[f]. Eğer

${\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}v^{i}X_{i},\quad w=\sum _{i=1}^{n}w^{i}X_{i}}$

p ∈ U da iki vektör, ise metriğin değeri v ve w ye uygulanan katsayılar ile belirleniyor (Denklem notu-4) çiftdoğrusallık ile:

${\displaystyle g(v,w)=\sum _{i,j=1}^{n}v^{i}w^{j}g\left(X_{i},X_{j}\right)=\sum _{i,j=1}^{n}v^{i}w^{j}g_{ij}[\mathbf {f} ]}$

(g_ij[f]) matrisi G[f] ifadesi ile ve v[f] ve w[f] sütun vektörü içine v ve w vektörlerinin bileşenleri düzenlenmesidir,

${\displaystyle g(v,w)=\mathbf {v} [\mathbf {f} ]^{\mathrm {T} }G[\mathbf {f} ]\mathbf {w} [\mathbf {f} ]=\mathbf {w} [\mathbf {f} ]^{\mathrm {T} }G[\mathbf {f} ]\mathbf {v} [\mathbf {f} ]}$

burada v[f]^T ve w[f]^T formun bir tabanın değişimi altında sırasıyla v[f] ve w[f] vektörlerinin devrik ifadesidir.

${\displaystyle \mathbf {f} \mapsto \mathbf {f} '=\left(\sum _{k}X_{k}a_{k1},\dots ,\sum _{k}X_{k}a_{kn}\right)=\mathbf {f} A}$

bazı tersinebilir n×n matris A = (a_ij) için, yanı sıra A ile metrik değişikliğin bileşenlerinin matrisi şudur,

${\displaystyle G[\mathbf {f} A]=A^{\mathrm {T} }G[\mathbf {f} ]A}$

veya,bu matrisin girişlerinin terimleri içinde,

${\displaystyle g_{ij}[\mathbf {f} A]=\sum _{k,\ell =1}^{n}a_{ki}g_{k\ell }[\mathbf {f} ]a_{\ell j}.}$

için bu nedenle, g_ij[f] niceliğinin sistemi f çerçevesi içinde değişiklik için sırasıyla dönüşüm eşdeğişkenliği denmektedir.

Örnekler

Öklidyen metrik

En tanıdık bir örnek temel Öklidyen geometri dir:iki-boyutlu Öklidyen metrik tensör. Genelde ${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$ koordinatları,

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}.\ }$

yazılabilir.Formüle indirgenen bir eğrinin uzunluğu:

${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {(dx)^{2}+(dy)^{2}}}.\ }$

Bazı diğer yaygın koordinat sistemi içinde Öklidyen metrik aşağıda yazılabilir.

Polar koordinatlar: ${\displaystyle (r,\theta )\ }$

${\displaystyle x=r\cos \theta }$

${\displaystyle y=r\sin \theta }$

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{bmatrix}}.}$

Böylece

${\displaystyle g=J^{\mathrm {T} }J={\begin{bmatrix}\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta &-r\sin \theta \cos \theta +r\sin \theta \cos \theta \\-r\cos \theta \sin \theta +r\cos \theta \sin \theta &r^{2}\sin ^{2}\theta +r^{2}\cos ^{2}\theta \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&r^{2}\end{bmatrix}}\ }$

trigonometrik denkliği ile.

Genelde,bir Öklidyen uzay üzerinde bir kartezyen koordinat sistem xⁱ,kısmi türevler ${\displaystyle \partial /\partial x^{i}}$ Öklidyen metriğe sırasıyla ortonormaldir. Böylece metrik tensör bu koordinat sistemi içinde Kronecker delta δ_ij. ${\displaystyle q^{i}}$ keyfi (olası eğrisel) koordinatlara sırasıyla metrik tensör ile veriliyor:

${\displaystyle g_{ij}=\sum _{kl}\delta _{kl}{\partial x^{k} \over \partial q^{i}}{\partial x^{l} \over \partial q^{j}}=\sum _{k}{\frac {\partial x^{k}}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial x^{k}}{\partial q^{j}}}.}$

Bir küre üzerinde yuvarlak metrik

R³ içinde birim küre Öklidyen metrik ortamından uyarılan doğal bir metrik ,ile donanım alır.${\displaystyle (\theta ,\phi )}$ standart küresel koordinatları içinde,${\displaystyle \theta }$ ile eş-yatay,z ekseninden ölçülen açı , ve xy düzlemi içinde x ekseninden açı ${\displaystyle \phi }$,metrik form alır

${\displaystyle g=\left[{\begin{array}{cc}1&0\\0&\sin ^{2}\theta \end{array}}\right].}$

Bu metrik genellikle bu formda yazılır

${\displaystyle ds^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}.}$

Görelilikten Lorenz metriğine

Düzgün Minkowski uzayı (özel görelilik) içinde,${\displaystyle r^{\mu }\rightarrow (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,x,y,z)\ ,}$ koordinatları ile metrik

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}.\ }$

için bir eğri ile—örnek için—zaman koordinat sabiti ile, genellikle uzunluk formülüne indirgenen bu metrik ile uzunluk formülü. zaman-gibi bir eğri için, verilen eğri boyunca verilen gerçek zaman uzunluk formülü

bu durum içinde,uzayzaman aralığı olarak yazılıyor

${\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}=dr^{\mu }dr_{\mu }=g_{\mu \nu }dr^{\mu }dr^{\nu }\ }$.

Schwarzschild metrik bir küresel simetrik cisim çevresinde uzayzaman tanımlar, bir uydu gibi, veya bir kara deliktir. ${\displaystyle (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,r,\theta ,\phi )}$ koordinatları ile metrik olarak yazabiliriz

${\displaystyle G=(g_{\mu \nu })={\begin{bmatrix}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})&0&0&0\\0&-(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})^{-1}&0&0\\0&0&-r^{2}&0\\0&0&0&-r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}\,}$

burada G (matris içi) çekimsel sabit ve M merkez nesnenin toplam kütle-enerji kapsamı gösterimidir .

Ayrıca bakınız

• Uzay-zaman eğrisinin matematiğine temel giriş
• Clifford cebri
• Finsler manifoldu
• Koordinat kartları listesi
• Ricci hesabı

Notlar

1. Daha doğrusu,integrand eğriye bu diferansiyelin geri çekmesidir.
2. The notation of using square brackets to denote the basis in terms of which the components are calculated is not universal. The notation employed here is modeled on that of Wells (1980). Typically, such explicit dependence on the basis is entirely suppressed.

Kaynakça

• Dodson, C. T. J.; Poston, T. (1991), Tensor geometry, Graduate Texts in Mathematics, 130 (2nd bas.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-52018-4, Şablon:MathSciNet 
• Gallot, Sylvestre; Hullin, Dominique; Lafontaine, Jacques (2004), Riemannian Geometry (3rd bas.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-20493-0 .
• Gauss, Carl Friedrich (1827), General Investigations of Curved Surfaces, New York: Raven Press (yayın: 1965), http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ABR1255  translated by A.M.Hiltebeitel and J.C.Morehead; "Disquisitiones generales circa superficies curvas", Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores Vol. VI (1827), pp. 99–146.
• Hawking, S.W.; Ellis, G.F.R. (1973), The large scale structure of space-time, Cambridge University Press .
• Kay, David (1988), Schaum's Outline of Theory and Problems of Tensor Calculus, McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-033484-7 .
• Kline, Morris (1990), Mathematical thought from ancient to modern times, Volume 3, Oxford University Press .
• Lee, John (1997), Riemannian manifolds, Springer Verlag, ISBN 978-0-387-98322-6 .
• Michor, Peter W. (2008), Topics in Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics, Vol. 93, Providence: American Mathematical Society  (to appear).
• Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John A. (1973), Gravitation, W. H. Freeman, ISBN 0-7167-0344-0 
• Ricci-Curbastro, Gregorio; Levi-Civita, Tullio (1900), "Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications", Mathematische Annalen 54 (1): 125–201, DOI:10.1007/BF01454201, ISSN 1432-1807, http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0054&DMDID=DMDLOG_0011&L=1 
• Sternberg, S. (1983), Lectures on Differential Geometry (2nd bas.), New York: Chelsea Publishing Co., ISBN 0-8218-1385-4 
• Vaughn, Michael T. (2007), Introduction to mathematical physics, Weinheim: Wiley-VCH Verlag GmbH & Co., ISBN 978-3-527-40627-2, Şablon:MathSciNet 
• Wells, Raymond (1980), Differential Analysis on Complex Manifolds, Berlin, New York: Springer-Verlag 

Dış bağlantılar

• Caltech Tutorial on Relativity — A simple introduction to the basics of metrics in the context of relativity.

Şablon:Tensors