Tam sayı

Tam sayılar veya tamsayılar, doğal sayılar (0, 1, 2, 3, …) ile bunların negatif değerlerinden (…, -3, -2, -1) oluşan sayı kümesi. Kesirsiz ve ondalıksız sayıların tamamı tam sayılardır. "-0" sayısı "+0" sayısına eşit olduğundan ayrı bir tam sayı değildir. Matematikte tam sayılar kümesi Z şeklinde gösterilir. Z harfi Almanca zahlen (sayılar) sözcüğünden gelir.

Pozitif tam sayılar "0"dan uzaklaştıkça büyür. Negatif tam sayılar ise "0"dan uzaklaştıkça küçülür. En büyük negatif tam sayı -1'dir. En küçük pozitif tam sayı ise +1'dir.

Pozitif tam sayılar Z⁺ şeklinde, negatif tam sayılar ise Z^- şeklinde gösterilir. Tam sayılar kümesi şu şekilde ifade edilir:

Z⁺ + Z^- + {0}

Sıfır (0) sayısı ne pozitif ne de negatiftir, yani nötrdür.

Mutlak değer, sayının başlangıç noktasına uzaklığını ifade eder. Başlangıç noktasına eşit uzaklıktaki sayılar mutlak değere eşittir. Mutlak değer içindeki her sayı, mutlak değer dışına pozitif olarak çıkar.

Tam sayılar, doğal sayıların bir genişlemesidir. Her doğal sayının "-1" denen yeni bir ögeyle çarpılarak kümeye katılması olarak düşünülebilir. Tabi daha ayrıntılı olarak, doğal sayılar kümesinin kartezyen çarpımı üzerine tanımlanacak ve bir önceki cümlenin işlevini görecek bir denklik bağıntısı bize tam sayıları inşâ edecek.

${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$ kümesinden seçtiğimiz (a, b) ve (c, d) ögeleri için "~" (tilda) bağıntısı,

${\displaystyle (a,b)\sim (c,d)\Leftrightarrow a+d=b+c}$

şeklinde tanımlansın (a+d=b+c dememizin nedeni sezgisel olarak a-b=c-d durumunu oluşturmaktır). Bu bağıntının denklik bağıntısı olduğu kolaylıkla görülebilir. Bu durumda bu bağıntının denklik sınıfları bizim tam sayılar diyeceğimiz ögeler olarak düşünülecektir. Her bir denklik sınıfı temsilcisini,

${\displaystyle {\overline {(a,b)}}=[a,b]=\{(a,b)\,|\,(a,b)\sim (c,d)\}=\{(a,b)\,|\,a+d=b+c\}}$

olarak tanımlamış oluruz. Aslında [a, b] diye temsil ettiğimiz öge

${\displaystyle [a,b]\equiv [a+1,b+1]\equiv \cdots \equiv [a+k,b+k]}$

şeklindedir. Aşağıda toplama ve çarpmayı işlerken bu, daha iyi anlaşılabilecektir.

Bu noktada; bizim normalde, a ve b doğal sayı olmak üzere a-b diye bildiğimiz tam sayı, aslında [a, b] kümesi olduğu görülebilir.

${\displaystyle a-b\equiv [a,b]}$

Yâni bu bağıntının bize "eksi" (negatif) kavramını ifade ettiği söylenebilir. O halde, tam sayılar kümesi aşağıdaki bölüm kümesidir:

${\displaystyle \mathbb {Z} =(\mathbb {N} \times \mathbb {N} )/\sim }$

Öyle ki ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+,\cdot )}$ kümesi bir halka oluşturur.

İşlem Önceliği

Çarpma ve bölme, toplama ve çıkarmadan önce yapılır. Parantez varsada önce parantez içindeki işlem yapılır. Eğer parantez yoksa başta olan bölme ya da çarpma yapılır

• a:b.c=a/b.c
• a.c:b=a.c/b

Tam sayılarla toplama ve çıkarma işlemleri yaparken sayıların işaretlerine göre hareket edeceğiz.Aynı işaretli tam sayılar toplanırken çoğalır yani fazlalaşır işaretleri aynı kalır.

(-25)+(-12)=-25-12=-37 buradaki işaret değişmedi.

(+25)+(+12)=+25+12=+37 buradaki işaret değişmedi.

Farklı işaretli tam sayılar toplanırken büyük sayıdan küçük sayı çıkarılır.Mutlak değerce büyük sayının işareti sonucun işareti olur.

(-25)+(+12)=-25+12=-13 burada mutlak değerce büyük sayının işareti geldi.

(+25)+(-12)=+25-12=+13 burada mutlak değerce büyük sayının işareti geldi.

Aynı işaretli tam sayılar çıkarılırken birinci sayıyı aynen yazıyoruz ikinci sayının işaretini değiştiriyoruz.Bu iki sayı birbirinden çıkartılıp işaret ise mutlak değerce büyük sayının işareti olur.

(-25)-(-12)=-25+12=-13 burada mutlak değerce büyük sayının işareti geldi.

(+25)-(+12)=+25-12=+13 burada mutlak değerce büyük sayının işareti geldi.

(+2)-(+4)=+2-4=-2 burada mutlak değerce büyük sayının işareti geldi.

(-18)-(-58)=-18+58=+40 burada mutlak değerce büyük sayının işareti geldi.

Farklı işaretli tam sayılar çıkarılırken birinci sayıyı aynen yazıyoruz ikinci sayının işaretini değiştiriyoruz.Bu iki sayıyı birbiri ile topluyoruz işaret ise aynı işaret oluyor.

(-25)-(+12)= -25-12=-37  buradaki işaret değişmedi.

(+25)-(-12)= +25+12=+37  buradaki işaret değişmedi.

(-30)-(+40)= -30-40=-70 buradaki işaret değişmedi.

(+11)-(-12)= +11+12=+23 buradaki işaret değişmedi.

Tam sayılarla çarpma işlemi yaparken:

Aynı işaretli sayıların çarpılması aynen çarpılır ve işaretleri hep pozitif olur.

(-25)x(-4)=+100

(+25)x(+4)=+100

Farklı işaretli sayıların çarpılması aynen çarpılır ve işaretleri hep negatif olur.

(-25)x(+4)=-100

(+25)x(-4)=-100

Tam sayılarla bölme işlemi yaparken:

Aynı işaretli sayıların bölünmesi aynen bölünür ve işaretleri hep pozitif olur.

(-20):(-4)=+5

(+20):(+4)=+5

Farklı işaretli sayıların bölünmesi aynen bölünür ve işaretleri hep negatif olur.

(-20):(+4)=-5

(+20):(-4)=-5

Tam sayılarda işlemlerin sayı doğrusunde gösterilmesi

Eklenen sayı pozitifse sağa doğru, eklenen sayı negatifse sola doğru ilerlenir. (-15) + (+8) = -7

Örnek: Aşağıdaki sayı doğrusunda verilen işlemin matematik cümlesini yazıp açıklayınız.

Doğru cevap B şıkkıdır.

Örnek: Aşağıdaki sayı doğrusunda verilen işlemin matematik cümlesini yazıp açıklayınız.

Çıkarma işlemi olduğu için çıkan sayı pozitifse sola ilerlenir, çıkan sayı negatifse sağa ilerlenir. (+6)-(+3)=+3

Örnek: Aşağıdaki sayı doğrusunda verilen işlemin matematik cümlesini yazıp açıklayınız.

Çıkarma işlemi olduğu için çıkan sayı pozitifse sola ilerlenir, çıkan sayı negatifse sağa ilerlenir. (-6)-(-10)=+4

Örnek:

(-12)+(-4)-(-8)+(+5)+(-1)

=(-12)+(-4)+(+8)+(+5)+(-1)

=(-17)+(+13)

=(-4)

Çarpma

Tam sayılarda çarpma işlemi yapılırken aynı işaretlilerin çarpımı pozitif farklı işaretlilerin çarpımı ise negatifdir. Bölme işlemindede aynı çarpma kuralı uygulanır ve sayı aynı doğal sayılarda olduğu gibi bölünür. Aynı işaretli iki tam sayı birbirine bölündüğünde sonuç pozitif, zıt işaretli iki tam sayı birbirine bölündüğünde ise sonuç negatiftir. Tam sayıların sıfıra bölümü tanımsızdır. Sıfırın tam sayılara bölümünde elde edilen sonuç ise sıfırdır.

Tam sayılarda çarpma işlemi doğal sayılardaki çarpmayla aynı özellikleri gösterir. Çarpma işlemi, "${\displaystyle \cdot }$" imiyle gösterilir, ancak ${\displaystyle a\cdot b}$ yazmak yerine doğrudan ab yazmak daha doğrudur. Bu maddede de öyle yapacağız.

Herhangi a, b, c tam sayıları için,

1. a1=a (birim öge)
2. ab=ba (değişme)
3. a(bc)=(ab)c (birleşme)

özellikleri sağlanır. Tam sayılarda çarpmaya göre ters öğe yoktur.

Ayrıca toplama ile çarpmanın birbirleriyle olan ilişkisini gösteren dağılma özelliği de vardır:

• a(b+c)=ab+ac (çarpmanın toplama üzerine dağılma ya da kısaca soldan dağılma özelliği)
• (a+b)c=ac+bc (toplamanın çarpma üzerine dağılma ya da kısaca sağdan dağılma özelliği)

Toplamayla birlikte bu iki işlem tam sayıları değişmeli halka yapar.

Bölme

Bölme özünde çarpmanın tersidir. Tam sayılarda bölme, her sayı için tanımlanmamıştır. Bu yüzden bölüm her zaman tam sayılar kümesinin bir ögesi olmayabilir.

Örnek: (+15):(-3)=(-5) , (-5) elemanıdır Z

       (+7):(-3)=(-7/3)  , (-7/3) elemanı değildir  Z

Kaynakça