Poisson cebri

Matematikte, bir Poisson cebri Leibniz kanununu karşılayan bir Lie braketi ile birlikte bir ilişkisel cebir'dir, yani, braket de bir türevidir. Poisson cebiri Hamilton mekaniğinde doğal olarak görünür ve aynı zamanda kuantum grupların çalışma merkezinde bulunmaktadır. Bir Poisson cebri yapısı ile manifoldlar simplektik manifoldlar ve Poisson-Lie grupları'nın özel bir durumu olmak üzere Poisson manifoldu, olarak bilinir.cebri onuruna adlandırılmıştır

Tanım

Bir poisson cebri bir vektör uzayı üzerinde K donanımlı bir alan ile iki çiftdoğrusal'ın çarpımlarıdır, ⋅ve {, }, aşağıdaki özellikleri vardır:

• Çarpım ⋅ bir birlesimli K-cebri formudur.
• Çarpım {, }, Poisson braketi olarak adlandırılır, bir Lie cebri formudur, ve ayrıca anti-simetriktir, ve Jacobi özdeşliği'ne uyar.
• Poisson braket hareketi olarak ilişkisel çarpımın bir türev⋅, cebirde herhangi üç öge x, y ve z için , {x, y ⋅ z} = {x, y} ⋅ z + y ⋅ {x, z} idi.

Son özellik genellikle bu cebrinin farklı formülasyonlarının verilecek çeşitlilik sağlar,aşağıdaki örneklerde de belirtildiği gibi.

Örnekler

Poisson cebiri farklı çalışma ortamlarında ortaya çıkar.

basitlestirilmis manifoldlar

Gerçel-değerli düzgün fonksiyonların uzayı üzerinde bir basitlestirilmis manifold bir poisson cebri formudur.Bir simplektik manifold olarak, her gerçel-değerli H fonksiyonu olarak Manifold bir vektör alanı Hamiltoniyen vektör alanı X_Hindükler,ise, verilen herhangi iki düzgün fonksiyon F ve G üzerindeki simplektik manifold, the Poisson braketi olarak tanımlanabilir:

${\displaystyle \{F,G\}=dG(X_{F})=X_{F}(G)\,}$.

Poisson braket hareketleri olarak bir türev bu tanım içinde tutarlıdır çünkü ,eşdeğerililiği belki bir braketle {,}olarak

${\displaystyle X_{\{F,G\}}=[X_{F},X_{G}]\,}$

burada[,] Lie türevleridir. Böyle ise simplektik manifold R²ⁿ ile standard simplektik yapıdır, böyle ise Poisson braket iyi bilinen bir form alır,

${\displaystyle \{F,G\}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial G}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial F}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial G}{\partial q_{i}}}.}$

Poisson manifoldları için benzer hususlar geçerlidir, manifoldların bazıları olarak simplektik bivektor tarafından izin verilen genel simplektik manifoldlar kaybolur (veya hepsi değersizleşir).

İlişkisel cebir

Eğer A bir ilişkisel cebir ise [x,y]≡xy−yx değişmelisi (komutatör) bir Poisson cebri içine döner.

Tepe operatör cebiri

Tepe operatör cebiri (V,Y, ω, 1) için,V/C₂(V) uzayı bir Poisson cebri ile {a, b} = a₀b dir ve a ⋅ b = a₋₁b.dir.Bazı tepe operatör cebirleri için, bu gibi Poisson cebiri sonlu boyutludur.

Ayrıca bakınız

• Poisson süpercebri
• Antibraket cebri
• Moyal braket

Kaynakça

• Y. Kosmann-Schwarzbach (2001), "Poisson algebra", Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104, http://eom.springer.de/p/p110170.htm 
• Bhaskara, K. H.; Viswanath, K. (1988). Poisson algebras and Poisson manifolds. Longman. ISBN 0-582-01989-3.