Schild'in merdiveni
Genel görelilik teorisinde, ve daha geneli diferansiyel geometri de, Schild'in merdiveni için bir eğri boyunca bir vektörün paralel taşınım yaklaşıklığı için yalnızca bir ilk-sıra metot olan afinleştirilmiş ölçeklendirme geodezikleri kullanılıyor.Alfred Schild kendi adına olan bu metodu Princeton Üniversitesinde ders sırasında tanıttı.
Yapım
Birim uzunluk ın bir jeodezik segmenti ile bir noktasında bir tanjant vektörü x tanımlamak ve Levi-Civita paralelkenarımsının bir yaklaşığı olarak yaklaşık paralel taraf ve ile yaklaşık bir paralelkenar oluşturmak için bir fikirdir; Yeni parça böylece de bir yaklaşık paralel öteleme tanjant vektörüne karşılık gelir
Resmi olarak, bir γ eğrisi düşünelim bir Riemann manifoldu M içinde bir A0 noktası yardımıyla, ve diyelimki x A0'da bir tanjant vektör olsun. x ise bir jeodezik parça ile ayrıştırılabilir A0X0 yoluyla üstel göndermedir. Bu jeodezik σ yeterlidir
Schild'in merdiveni yapımı adımlardır:
- Diyelimki X0 = σ(1), böylece jeodezik parça birim uzunluk var.
- şimdi diyelimki A1 γüzerinde bir nokta olsun A0 ya yakın, ve jeodezik yapı X0A1.
- Diyelimki bu hassaslık içinde X0A1'ın orta noktası P1 olsun X0P1 parçaları ve P1A1 bir afin geçiş için parametre eşit alınır.
- A0P1 jeodezik yapımı, ve bu bir nokta X1'a uzanır böylece A0X1'in parametre uzunluğu A0P1'in bu çiftidir.
- Sonuçta A1X1 jeodezik yapımıdır.Bu jeodezik x1'e tanjant paralel taşınım ise X0'ın A1'ya, en azından ilk sırasına.
Yaklaşıklık
Bu paralel taşınımın devamlı sürecinin ayrık bir yaklaşıklığıdır. Eğer ortam uzayı düzse, bu tam paralel taşınım, ve paralelkenar tanım adımları Levi-Civita paralelkenarımsı ile uyumludur.
Bir eğri uzay içinde, hata holonomi ile veriliyor üçgeni çevresinde bu üçgenin içi üzerinde eğrinin integraline eşittir,Ambrose-Singer teoremi ile; bu Green teoreminin bir formudur (iç üzerinde integrale ilişkin bir eğri çevresindeki integral).
Notlar
- Schild'in merdiveni jeodezikler ama aynı zamanda jeodezikler birlikte göreceli mesafe sadece gerektirmez. Bağıl mesafe gerekli orta noktaları tespit edilebilir olan jeodezikler arasında afin parametreleriyle ile sağlanabilir.
- Schild'in merdiveni paralel taşıma ille torsiyon-serbest inşa edilmiştir
- Bir Riemannian metrik jeodezikler oluşturmak için gerekli değildir.Geodezikler bir Riemann metrik oluşturulur eğer bu bağlantı torsiyon serbest olarak tanımlanır çünkü Ama, Schild'in merdiveni ile sınıra inşa edilmiştir paralel taşıma Levi-Civita bağlantısı olarak aynıdır.
Kaynakça
- Kheyfets, Arkady; Miller, Warner A.; Newton, Gregory A., Schild's ladder parallel transport procedure for an arbitrary connection. International Journal of Theoretical Physics
20001200, Volume 39, Issue 12, pp 2891-2898.
- Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John A. (1973), Gravitation, W. H. Freeman, ISBN 0-7167-0344-0