Baker-Campbell-Hausdorff formülü

Matematikte, Baker–Campbell–Hausdorff formulü değişmeli olmayan X ve Y için.

Z = log(e^X e^Y) ya çözümdür

Bu formül Lie cebirine bağlantılı Lie grupları geleneksel koordinatlar içinde bir Lie cebiri ögeleri olarak iki Lie grup ögelerinin çarpımının logaritma ifadesi ile ,bir takdir anlamlı rehberlik bağlantısıdır(Hausdorff 1906)^[1] teorinin tam gelişmesi öncesidir .

Bu Henry Frederick Baker John Edward Campbell, ve Felix Hausdorff adınadır. Campbell ile ilk notlarının içinde yazılı idi Henri Poincaré tarafından ayrıntılandırılmıştır (1899) ve Baker (1902)tarafından geometriksel olarak sistematize edildi ve Hausdorff (1906) ile Jacobi özdeşliğine bağlandı.^[1]

Baker–Campbell–Hausdorff formulü

Baker–Campbell–Hausdorff formulü ifadesi eğer X ve Y bazı ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ Lie cebiri içinde karakteristik 0'ın herhangi bir alanı üzerinde tanımlanır, ise

log(exp(X) exp(Y)),

${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 'nin resmi bir sonsuz toplamı olarak yazılabilir. Birçok uygulamalar, birinin bu sonsuz toplamı için açık bir ifade gerekiyor, ama sadece onun varlığından güvencesi, ve aşağıdaki gibi görülebilir değildir.halka

S = R[[X,Y]]

tüm değişmeli-olmayan resmi kuvvet serisinin X ve Y değişmeli-olmayan değişkenleri içinde bir halka homomorfizmi Δ S den

S⊗S'in tamamlanmasına ,

eşçarpım denir, böylece

Δ(X) = X⊗1 + 1⊗X

ve Y için aynıdır . (Eşçarpımı tanımı kural Δ(XY) = Δ(X)Δ(Y) )tarafından yinelemeli uzatıldı).Bu, aşağıdaki özelliklere sahiptir:

Bir açık Baker–Campbell–Hausdorff formulü

özel olarak, diyelimki G bir basit-bağlantılı Lie grubu ile Lie cebri ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$'dir. Diyelimki

${\displaystyle \exp :{\mathfrak {g}}\rightarrow G}$

üstel gönderme olsun.Aşağıda genel kombinatorik formülü Eugene Dynkin (1947)tarafından tanıtıldı:^[2]

${\displaystyle \log(\exp X\exp Y)=\sum _{n>0}{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}\sum _{\begin{smallmatrix}{r_{i}+s_{i}>0}\\{1\leq i\leq n}\end{smallmatrix}}{\frac {(\sum _{i=1}^{n}(r_{i}+s_{i}))^{-1}}{r_{1}!s_{1}!\cdots r_{n}!s_{n}!}}[X^{r_{1}}Y^{s_{1}}X^{r_{2}}Y^{s_{2}}\ldots X^{r_{n}}Y^{s_{n}}],}$

Burada ${\displaystyle s_{n}}$ ve ${\displaystyle r_{n}}$ negatif-olmayan tamsayı, ve aşağıdaki gösterim kulanılıyor:

${\displaystyle [X^{r_{1}}Y^{s_{1}}\ldots X^{r_{n}}Y^{s_{n}}]=[\underbrace {X,[X,\ldots [X} _{r_{1}},[\underbrace {Y,[Y,\ldots [Y} _{s_{1}},\,\ldots \,[\underbrace {X,[X,\ldots [X} _{r_{n}},[\underbrace {Y,[Y,\ldots Y} _{s_{n}}]]\ldots ]].}$

Bu terim sıfır ise ${\displaystyle s_{n}>1}$ veya eğer ${\displaystyle s_{n}=0}$ ve ${\displaystyle r_{n}>1}$.^[3]

ilk birkaç terimler iyi-biliniyor, tüm yüksek-dereceli terimler [X,Y] içerir ve komutatör yerleştirmelerin (böylece Lie cebri içinde):

${\displaystyle {\begin{aligned}Z(X,Y)&{}=\log(\exp X\exp Y)\\&{}=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}[X,[X,Y]]-{\frac {1}{12}}[Y,[X,Y]]\\&{}\quad -{\frac {1}{24}}[Y,[X,[X,Y]]]\\&{}\quad -{\frac {1}{720}}([[[[X,Y],Y],Y],Y]+[[[[Y,X],X],X],X])\\&{}\quad +{\frac {1}{360}}([[[[X,Y],Y],Y],X]+[[[[Y,X],X],X],Y])\\&{}\quad +{\frac {1}{120}}([[[[Y,X],Y],X],Y]+[[[[X,Y],X],Y],X])+\cdots \end{aligned}}}$

Unutmadan X ↔ Y (anti-)/açılımın alterne dereceleri içinde simetriden, dolayı Z(Y, X) = −Z(−X,−Y).

Seçilmiş izlenebilir durumlar

Burada kapalı form içinde keyfi bir Lie cebiri, istisnai durumlar izlenebilir olmasına rağmen, bu gibi uygulamalarda genişleme dışarı çalışmak için verimli algoritmalardır.

Örneğin, Eğer [X,Y] yokolursa, yukardaki formul X+Y'ye indirgenir. Eğer komutatör [X,Y] bir skaler (merkez,bkz nilpotent Heisenberg grup), ise neredeyse ilk üç terimler sağ taraf üzerinde yukarda kaybolur. Bu bozunmuş durum kuantum mekanikte rutin kullanılıyor, aşağıda gösterilmiştir.

Campbell–Baker–Hausdorff formulünün diğer formları, Y ögelerinin terimleri içinde açılım vurgulanıyor (ve doğrusal eş endomorfizma gösterimi kullanılıyor, ad_X Y ≡ [X,Y]), iyi bir sunum:

${\displaystyle \log(\exp X\exp Y)=X+{\frac {{\text{ad}}_{X}~e^{\operatorname {ad} _{X}}}{e^{\operatorname {ad} _{X}}-1}}~Y+O(Y^{2}),}$

Aşağıdaki integral formülde anlaşılacağı gibi. (İç içe komütatörlerinin katsayıları Y doğrusal normalize Bernoulli sayılarıdır, aşağıda ana hatları var.)

Böylece, bazı sıfır-hariç s için eğer komutatör [X,Y]=sY olursa ,bu formul sadece Z = X + sY / (1 − exp(−s)) ye indirgenir, bu o zaman özdeş örgü özdeşlikliğine yolaçar,şöyleki

${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{\exp(s)~Y}e^{X}~,}$

veya eş genişlik,

${\displaystyle e^{X}e^{Y}e^{-X}=e^{\exp(s)~Y}~.}$

Burada fizik rutin uygulamalarında iyi bilinen sayıların bu bağlantılarıdır.^[4] yaygın bir integral formülü^[5] dür

${\displaystyle \log(\exp X\exp Y)=X+\left(\int _{0}^{1}\psi \left(e^{\operatorname {ad} _{X}}~e^{t\,{\text{ad}}_{Y}}\right)\,dt\right)\,Y,}$

Bernoulli sayıları için üreteç fonksiyonunu içerir,

${\displaystyle \psi (x)\equiv {\frac {x\log x}{x-1}}=1-\sum _{n=1}^{\infty }{(1-x)^{n} \over n(n+1)}~,}$

Poincaré ve Hausdorff tarafından kullanılan. hatırlatma

${\displaystyle \psi (e^{y})=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}~y^{n}/n!}$ ,

Bernoulli sayıları için, B₀ = 1, B₁ = 1/2, B₂ = 1/6, B₄ = −1/30, ...

Lie grup matris gösterimleri

bir matris Lie grup ${\displaystyle G\subset {\mbox{GL}}(n,\mathbb {R} )}$ için Lie cebiri I'nın özdeş tanjant uzayıdır, ve komutatör basitçe [X, Y] = XY − YX; üstel gönderme matrislerin standart üstel haritasıdır,

${\displaystyle \exp X=e^{X}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {X^{n}}{n!}}.}$

Z için bir çözümü

${\displaystyle e^{Z}=e^{X}e^{Y},\,\!}$

Bir basit bir formul elde eder:

${\displaystyle Z=\sum _{n>0}{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}\sum _{\begin{smallmatrix}r_{i}+s_{i}>0\,\\1\leq i\leq n\end{smallmatrix}}{\frac {X^{r_{1}}Y^{s_{1}}\cdots X^{r_{n}}Y^{s_{n}}}{r_{1}!s_{1}!\cdots r_{n}!s_{n}!}}.}$

Birinci, ikinci, üçüncü, ve dördünci sıralı terimlerdir:

• ${\displaystyle z_{1}=X+Y\,\!}$
• ${\displaystyle z_{2}={\frac {1}{2}}(XY-YX)}$
• ${\displaystyle z_{3}={\frac {1}{12}}(X^{2}Y+XY^{2}-2XYX+Y^{2}X+YX^{2}-2YXY)}$
• ${\displaystyle z_{4}={\frac {1}{24}}(X^{2}Y^{2}-2XYXY-Y^{2}X^{2}+2YXYX).}$

Ayrıca bakınız

• Magnus açılımı
• Stone–von Neumann teoremi
• bir matrisin logaritması
• Matris üsteli
• Golden–Thompson eşitizliği
• Lie çarpım formulü (Trotter çarpım formulü)

Kaynakça

1. F. Hausdorff, "Die symbolische Exponentialformel in der Gruppentheorie", Ber Verh Saechs Akad Wiss Leipzig 58 (1906) 19–48.
2. Dynkin, Eugene Borisovich (1947). "Вычисление коэффициентов в формуле Campbell–Hausdorff [Calculation of the coefficients in the Campbell–Hausdorff formula]" (Russian). Doklady Akademii Nauk SSSR 57: 323–326. 
3. A.A. Sagle & R.E. Walde, "Introduction to Lie Groups and Lie Algebras", Academic Press, New York, 1973. ISBN 0-12-614550-4.
4. Magnus, W. (1954). "On the exponential solution of differential equations for a linear operator". Communications on Pure and Applied Mathematics 7 (4): 649–673. DOI:10.1002/cpa.3160070404. 
5. W. Miller, Symmetry Groups and their Applications, Academic Press, New York, 1972, pp 159–161. ISBN 0-12-497460-0

• Yu.A. Bakhturin (2001), "Campbell–Hausdorff formula", Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104, http://eom.springer.de/C/c020090.htm 
• L. Corwin & F.P Greenleaf, Representation of nilpotent Lie groups and their applications, Part 1: Basic theory and examples, Cambridge University Press, New York, 1990, ISBN 0-521-36034-X.
• Brian C. Hall, Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Springer, 2003. ISBN 0-387-40122-9
• W. Rossmann, Lie Groups: An Introduction through Linear Groups. Oxford University Press, 2002.
• J.-P. Serre, Lie algebras and Lie groups, Benjamin, 1965.

Dış bağlantılar

• C.K. Zachos, Crib Notes on CBH expansions
• MathWorld page