Metrik tensör(Genel görelilik)

Bu madde genel görelilik içinde metrikler hakkındadır. Genel içinde metriklerin bir tartışması için Metrik tensor sayfasına bakınız.

Bir matris olarak genel görelilik içinde uzay-zamanın metrik tensörü.

Genel görelilikte Metrik tensörle (veya basitçe, metrik) çalışmak temel yöntemdir. Birazcık Newton yerçekiminde tanıdığımız Yerçekimi alanının bir genelleştirilmesi olarak düşünülebilir.Metrik mesafe, hacim, eğrilik, açı, gelecek ve geçmiş gibi kavramları tanımlamak için kullanılan uzay-zamanın tüm geometrik ve nedensel yapısını, yakalar.

Gösterim ve kurallar: Bu ​​yazı boyunca biz çoğu pozitif(- + + +); metrik işaretiyle çalışıyoruz.işaret kuralına bakılabilir. Görelilikte alışılmış olduğu gibi, birimlerin kullanıldığı yerlerde c = 1. ışık hızıdır.Kütleçekim sabiti G açık tutulacaktır. Tekrarlanan indisler otomatik toplam üzerinde toplam kuralı kullanılmaktadır.

Tanım

Matematiksel olarak, uzay-zaman bir 4-boyutlu diferansiyellenebilir manifold M gösterimidir ve metrik bir eşdeğişkin olarak veriliyor, ikinci-rank,M üzerinde simetrik tensör, geleneksel olarak g ile ifade edilir. Dahası metriğin işaret(-+++) ile bozunmaz olması gerekir Bir metrik arama ile donatılmış M manifolda bir Lorentziyen manifold denir.

Açıkçası, metrik her tanjant uzay noktasından düzgün bir (veya türevlenebilir) şekilde değişen M noktası üzerine bir simetrik çiftdoğrusal formdur M içinde bir x noktasında verilen iki tanjant vektörler u ve v dir ve metrik verilen bir gerçek sayı

${\displaystyle g_{x}(u,v)=g_{x}(v,u)\in \mathbb {R} .}$ ye u ve v üzerinden evriltilebilir:

Bu adi Öklid uzayı içinde nokta çarpımın bir genellemesi olarak düşünülebilir. Bu analoji tam değildir, bununla birlikte —metrik Minkowski uzayının yapısı verilen her tanjant uzayı Öklid uzayının aksine — burada nokta çarpım pozitif tanımdır.

Yerel koordinatlar ve matris gösterimleri

Fizikçiler genellikle yerel koordinatlar içinde çalışırlar(yani Min bazı yerel yaması üzerinde tanımlanan koordinatlar).Yerel koordinatlar ${\displaystyle x^{\mu }}$ (burada ${\displaystyle \mu }$ 0 dan 3'e koşan bir indistir) metrik formu içinde yazılabilir

${\displaystyle g=g_{\mu \nu }dx^{\mu }\otimes dx^{\nu }.}$

${\displaystyle dx^{\mu }}$ faktörü ${\displaystyle x^{\mu }}$ alanı skaler koordinatlarının gradyanı tek formdur.Metriğin koordinatlarının gradyanı tek-formunun tensör çarpımı bir doğrusal kombinasyonu böyledir. ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ katsayıları 16 gerçek-değerli fonksiyonlarının bir kümesidir (böylece tensör g aslında bir tensör alanı ve bir uzay-zaman manifoldunun tüm noktalarında tanımlanıyor).Metrik için sıra içinde simetrik olan

${\displaystyle g_{\mu \nu }=g_{\nu \mu }\,}$ olması gerekir

10 bağımsız katsayı veriliyor. Eğer simetrik tensör çarpımı ile yan yana (böylece ${\displaystyle dx^{\mu }dx^{\nu }=dx^{\nu }dx^{\mu }}$) ise, metrik formu içinde

${\displaystyle g=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }.\,}$

yazabiliriz Eğer yerel koordinatlar özel veya bağlamdan anlaşılan,metrik ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ girişi ile bir 4×4 simetrik matris olarak yazılabilirse ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$'nin dejenere olmayan anlamı bu matris tekil-olmayan dır.(yani yok-olmayan determinant var), durum bu iken g nin Lorentziyan işaret vurgusu bu matris tek negatif ve üç pozitif özdeğeri var.Unutmadan fizikte sıklıkla veya ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ koordinatların kendileri metrik olarak bu matrise kaynaktır(bakınız, bununla birlikte, soyut indis gösterimi).

metrik bir sonsuz değişmez metrik hareketi olarak kareler aralığı veya çizgi ögesi ${\displaystyle dx^{\mu }}$ miktarı ile bir sonsuz koordinat yerdeğiştirmesi olsun.Bu nedenle metrik notasyonunda sıklıkla için ${\displaystyle ds^{2}}$ görülüyor:

${\displaystyle ds^{2}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }.\,}$

görelilik içinde, metrik ve çizgi elemanı terimleri sılklıkla birbirinin yerine kullanılıyor.

${\displaystyle ds^{2}}$ çizgi ögesi uzayzamanın nedensel yapısı hakkında bilgi verir, .${\displaystyle ds^{2}<0}$ ise,aralığı zamangibi ve ds²nin mutlak değerinin karekökünün bir artışlı uygun zamanıdır.Yanlızca zamangibi aralıklar bir büyük nesne ile fiziksel geçişli olabilir.Eğer ${\displaystyle ds^{2}=0}$, aralık ışıkgibi, ve yalnızca ışık ile geçiliyor olabilir. Eğer ${\displaystyle ds^{2}>0}$ ise, aralık uzaygibi ve ds²nin karekökü bir artışlı uygun uzunluk olarak hareket eder. Birbirlerinin ışık konisi dışında olayları bağlamak yoluyla uzay gibi aralıkları geçilen yapmaz. Olaylar birbirlerinin ışık konisi içinde sadece nedensel ilgili olabilir. metrik bileşenler yerel koordinat sistem seçimi üzerinde açık bağlıdır .${\displaystyle x^{\mu }\to x^{\bar {\mu }}}$ koordinatlarının bir değişikliği altında metrik bileşenler dönüşüm olarak

${\displaystyle g_{{\bar {\mu }}{\bar {\nu }}}={\frac {\partial x^{\rho }}{\partial x^{\bar {\mu }}}}{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial x^{\bar {\nu }}}}g_{\rho \sigma }=\Lambda ^{\rho }{}_{\bar {\mu }}\,\Lambda ^{\sigma }{}_{\bar {\nu }}\,g_{\rho \sigma }.}$

Örnekler

Düz uzay-zaman

Bir Lorentzyen manifoldun basit örneği düz uzay-zaman R⁴ ile ${\displaystyle (t,x,y,z)}$ koordinatlar olarak verilebilir ve metrik

${\displaystyle ds^{2}=-c^{2}dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}.\,}$

Unutmadan R⁴'ün tüm gerçek örtülü bu koordinatları,düz uzay metrik (veya Minkowski metrik) η sembolü ile sıklıkla ifade edilir ve özel görelilik içinde metrik kullanılıyor.Yukardaki koordinatlar içinde, η'in matris gösterimi

${\displaystyle \eta ={\begin{pmatrix}-c^{2}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

küresel koordinatlar içinde ${\displaystyle (t,r,\theta ,\phi )}$, düz uzay metriğin aldığı form

${\displaystyle ds^{2}=-c^{2}dt^{2}+dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}\,}$

burada

${\displaystyle d\Omega ^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}}$

2-küre üzerinde standard metriktir.

Schwarzschild metriği

Düz alanın metriği yanı sıra genel görelilik içinde en önemli metrik Schwarzschild metriği yerel koordinatların bir kümesi içinde verilebilir

${\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}+\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}}$

burada, yine, ${\displaystyle d\Omega ^{2}}$ 2-küre üzerinde standard metriktir .Burada G yerçekimi sabiti ve M kütle boyutlarında bir sabittir. Onun türevi burada bulunabilir. M (o tanımsız kökeni hariç) sıfıra yaklaşırken Schwarzschild metrik Minkowski metriği yaklaşır. r sonsuza gittiğinde Benzer şekilde, Schwarzschild metrik Minkowski metrik yaklaşır.

Diğer metrikler

Diğer önemli metrikler:

• Bondi metriği,
• Eddington–Finkelstein koordinatları,
• Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker metriği,
• Gullstrand–Painlevé koordinatları,
• Isotropic koordinatlar,
• Kerr metriği,
• Kerr–Newman metriği,
• Kruskal–Szekeres koordinatları,
• Lemaître koordinatları,
• Lemaître–Tolman metriği,
• Peres metriği,
• Reissner–Nordström metriği,
• Rindler koordinatlar,
• Weyl−Lewis−Papapetrou koordinatları.

Hacim

metrik g bir doğal hacim formu tanımlar, bu uzayzaman üzerinde integrasyon için kullanılabilir.Bir manifoldun ${\displaystyle x^{\mu }}$ yerel koordinatları içinde, hacim formu yazlabilir

${\displaystyle \mathrm {vol} _{g}={\sqrt {|\det g|}}\,dx^{0}\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\wedge dx^{3}}$

burada det g verilen koordinat sistemi için metrik tensörün bileşenlerinin matrisinin determinantıdır .

Eğrilik

Uzay-zamanın eğriliğini tamamen metrik g belirler. Riemann geometrinin temel teoremine göre, metrik ve torsiyon-serbest ile uyumlu herhangi bir yarı-Riemann manifold üzerinde benzersiz bir bağlantı ∇ var. Bu bağlantıya Levi-Civita bağlantısı denir. Bu bağlantının Christoffel sembolleri, aşağıdaki formül ile yerel koordinat ${\displaystyle x^{\mu }}$ olarak metriğin kısmi türevi terimleri cinsinden verilmiştir Uzay-zamanın eğriliği Riemann eğrilik tensörü ile verildiğinde bu ∇ Levi-Civita bağlantısının terimleri içinde tanımlanır.Yerel koordinatlar içinde bu tensör ile veriliyor:

${\displaystyle {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }-\partial _{\nu }\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \sigma }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \sigma }.}$

Bu eğrilik ${\displaystyle g}$ metriğin terimleri içinde ise tamamen sentezlenebilir ve bu türevleridir.

Einstein denklemleri

Genel göreliliğin bir çekirdek fikrini bu metrik (ve uzay-zamanın ilgili geometrisi) uzay-zamanın kavramları madde ve enerji ile belirleniyor.

Einstein alan denklemleri:

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{1 \over 2}Rg_{\mu \nu }=8\pi G\,T_{\mu \nu }}$

burada

${\displaystyle R_{\nu \rho }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {R^{\mu }}_{\nu \mu \rho }}$

(ve ilişkili eğrilik tensörleri) ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$baskı–enerji tensörüne ilişkili metriktir.Bu tensör denklemi nonlineer kısmi diferansiyel denklemlerin metrik bileşenleri için bir karmaşık kümesidir.Einstein alan denklemlerinin tam çözümlerini bulmak çok zordur.

Ayrıca bakınız

• Genel göreliliğe alternatifler
• Eğri uzayzamanın matematiğine temel giriş
• Genel göreliliğin matematiği
• Ricci hesabı

Başvuru

Başvuruların bir listesi için bakınız Genel göreliliğin kaynakları.

Şablon:Tensors