Sıfır üssü Lie cebiri

Şablon:Lie groups

matematik'te, bir Lie cebiri ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ Düşük merkez serisi ise sıfır üssüdür

${\displaystyle {\mathfrak {g}}>[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]>[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}]>[[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}]>\cdots }$

sonunda sıfır olur.eşdeğeri ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ sıfırın üssüdür eğer,

${\displaystyle \operatorname {ad} (x_{1})\operatorname {ad} (x_{2})\operatorname {ad} (x_{3})...\operatorname {ad} (x_{r})=0}$

yeteri kadar büyük bir uzunlukta ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ögesinin $x_i$ herhangi bir dizisi için(burada, ${\displaystyle \operatorname {ad} (x)}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (x)y=[x,y]}$.tarafından verilir) sonuç ${\displaystyle \operatorname {ad} (x)}$ sıfırın üssüdür(bir doğrusal harita olarak), ve bu bir sıfırın üssü Lie cebirinin Killing formu sıfıra özdeştir. (kıyaslandığında, bir Lie cebri yarıbasit ancak ve ancak dejenere olmamış Killing formu ise)

Her nilpotent Lie cebiri çözülebilir;bu aslında pratikte bir Lie cebir çözülebilirliği kanıtlamak için güçlü yollarından birini verir, bu çözülebilirliği daha doğrusu nilpotensi kanıtlamak için genellikle daha kolay yoldur.Bunun tersi genelde doğru değildir.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ bir Lie cebirinin ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ merkezinde yer alan ideal üzerindeki bölüm nilpotenttir ancak ve ancak nilpotenttir.

Nilpotensi klasik sınıflandırma sonuçlarının en karakteristiği 0 bir alan üzerinde sonlu boyutlu Lie cebiri ile ilgilidir.Diyelimki ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ sonlu boyutlu Lie cebiri olsun. ve ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ nilpotent olması durumunda ise ${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})}$ nilpotenttir. Engel teoremi ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ancak ve ancak ${\displaystyle \operatorname {ad} (x)}$ durumunda nilpotenttir ve her ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$ için nilpotenttir ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ çözülebilir ise ancak ve ancak ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ nilpotenttir.

Örnekler

• Bir üstel sıfır Lie cebirinin her alt cebiri ve bölümü üstel-sıfırdır.
• Eğer ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{k}}$ ${\displaystyle k\times k}$ matrislerinin kümesi,ise alt cebirine katı üst üçgen matrislerini içeren,ifadesi ${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{k}}$, bir üstel-sıfır Lie cebiridir.
• Bir Heisenberg cebri üstel-sıfırdır.
• Bir Lie cebirinin Cartan altcebiri üstel-sıfır ve kendiliğinden-normalizedir

Kaynakça

• Humphreys, James E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1972. ISBN 0-387-90053-5