Tesselasyon

Kaldırım parkelerinin bir tesselasyonu

Bir arı peteği tesselasyonlu bir doğal yapı örneğidir

Matematikte bir döşeme (veya karolama, süsleme), aralarında boşluk bırakmadan veya örtüşmeden bir düzlemi kaplayan düzlemsel şekiller kümesidir. Bu kavram daha yüksek boyutlar için de genellenebilir, bu genişletilmiş anlamı için döşeme yerine tesselasyon terimi kullanılır. Tesselasyon M. C. Escher'in eserlerinde sıkça görülebilir. Tesselasyona sanat tarihi boyunca, antik mimariden modern sanata kadar rastlanabilir.

Latince tessella, mozaik yapmakta kullanılan küp şekilli bir kil, taş veya cam parçasıdır.^[1] "Tessella" sözcüğü (kare anlamına gelen "tessera"dan gelir, onun kaynağı da "dört" anlamına gelen Yunanca sözcüktür) küçük kare anlamına gelir. Gündelik dilde parke, karo veya çini döşeme, bu malzemelerin tesselasyon şeklinde yere veya duvara döşenmesidir. Döşeme sözcüğü hem bu tür düzlem kaplayıcı cisim veya şekillere, hem de bu cisimlerle veya şekillerle kaplanmış yüzey için kullanılır. Anlam kargaşasına yol açmamak için, aşağıdaki metinde, düzlemi kaplayıcı şekiller için karo terimi kullanılacaktır, ama "karo"nun gündelik dildeki anlamının aksine, tessalasyon yapmakta kullanılan şekillerin dörtgen olma şartı yoktur.

Duvar kağıdı grupları

Öteleme simetrisi olan döşemeler "duvarkağıdı grubu" olarak kategorilendirilebilir, bunlardan 17 tane vardır. El Hamra Sarayı'nda bu örüntü tiplerinin her birinden bulunur. Düzgün (eşkenar çokgenlerden meydana gelen) döşemelerden ikisi p6m, biri p4m kategorisine aittir.

Tesselasyon ve renkler

Bu paralelkenar örüntüsü bir düzlemi kaplamadan önce boyanırsa, her bir paralelkenarın komşularından farklı bir renge sahip olabilmesi için yedi farklı renk kullanılması gerekir. (Bu döşeme şekli bir simit yüzeyinin döşenmesine benzetilebilir). Eğer döşeme boyamadan önce yapılırsa sadece dört renk yeterlidir.

Renkli bir döşemeden bahsederken, yanlış anlamaya yol açmamak için, renklerin döşemenin parçası mı olduğu yoksa sadece tekrar eden birim şekle mi ait olduğunun belirtilmesi gerekir. Ayrıca bakınız simetri.

Dört renk teoremi, normal bir Öklid düzlemindeki her bir döşemesi için, eğer dört renk kullanılırsa, her bir karonun komşularından farklı bir renkle boyanabileceğini önerir; bu boyamada aynı renge sahip iki karo pozitif uzunlukla bir kenar ile birbirine dokunamaz. Ancak, dört renk kuramının garantilediği renklendirme genelde tesselasyonun meydana getirdiği simetriyi muhafaza etmeyebilir. Tesselasyon simetrisine uyan bir renklendirme daha fazla sayıda renk gerektirebilir, sağdaki resimdeki örnekte görülebileceği gibi.

Dörtgenlerle tesselasyon

Herhangi bir dörtgen karonun kopyaları kullanılarak elde edilecek döşemenin belli simetri özellikleri vardır: 1) her bir dörtgen kenarının orta noktasında ikili dönel simetrisi vardır, 2) dörtgenlerin gösterdiği öteleme simetrisinin taban vektörleri ya a) dörtgenin köşegenleri veya b) köşegenlerden biri ve iki köşegenin toplamı veya farkıdır. Asimetrik bir dörtgen karo döşemesi Duvarkağıdı grubu p2'ye aittir. Tekrarlanan temel şekil olarak dörtgen vardır. Buna denk bir önerme olarak, dörtgenin dönel merkezinden başlamak üzere iki öteleme vektörü arasında yer alan bir paralelogram çizebiliriz, bunu bir köşegen ile ikiy bölüp yarım şekillerden (üçgenlerden) birini temel şekil olarak alabiliriz. Bu üçgenin alanı, başlangıçtaki dörtgen ile aynı lana sahiptir ve kesip yapıştırma yoluyla inşa edilebilir.

Düzgün ve yarı-düzgün tesselasyonlar

döşemede altıgenlerden oluşan bir tesselasyon

Düzenli tesselasyon, benzer düzgün çokgenlerden oluşmuş yüksek simetrili bir tesselasyondur. Sadece üç tane düzgün tesselasyon vardır: bunlar eşkenar üşgenlerden, karelerden veya altıgenlerden meydana gelen döşemelerdir.

Yarı düzgün tesselasyonlar çeşitli düzgün çokgenlerden oluşur; bunlardan sekiz sınıf vardır. Bu çokgenlerin her bir köşedeki yerleşimi aynıdır. Kenar-kenara tesselasyonlar daha düzensizdir: tek şart, bitişik şekillerin tek bir kenarı paylaşmasıdır, yani bir şekil bir kenarının sadece bir kısmını başka bir şekille paylaşamaz. Başka tür tesselasyonlar da mevcuttur, kullanılan şekil ve bunların örüntüsüne bağlı olarak. Düzgün olan ve olmayan, periyodik ve aperiyodik (periyodik olmayan), simetrik ve asimetrik, ayrıca fraktal tesselasyonlar vardır, bunların yanı sıra başka sınıflandırmalar da sayılabilir.

İki farklı çokgen kullanan Penrose döşemesi aperiyodik örüntüler yaratan tesselasyonların en meşhur örneğidir. Bu döşemeler, özyineleme kullanarak kendi kendini üreten çokgen kümelerinden inşa edilen aperiyodik döşemeler sınıfına aittir.

Monohedral kaplama, tüm şekillerin birbirine benzer olduğu bir tesselasyondur. Spiral monohedral döşemeler arasında Hans Voderberg tarafından 1936'da keşfedilmiş olan Voderberg döşemesi ve Michael Hirschhorn tarafından 1970'lerde keşfedilen Hirschhorn döşemesi bulunmaktadır. Voderberg döşemesinin birim şekli konveks olmayan bir dokuzgen, Hirschhorn döşemesinin birim şekli ise düzgün olmayan bir beşgendir.

Öz-çifteş tesselasyonlar

Eğer bir şeklin kenarları ve köşelerinin yer değiştirmesi halinde gene aynı şekil ortaya çıkarsa (kare gibi) bu şeklin öz-çifteş (self dual) olduğu söylenebilir. Düzgün döşemeler ve petekler öz-çifteş olabilir. Schlafli sembolü ile {4,3ⁿ⁻²,4} olarak betimlenen tüm n-boyutlu hiperkübik petekler öz çifteştir.

Tesselasyonlar ve bilgisayar modeleri

sonlu elemanlar problemini çözmek için bir diskin tesselasyonu.

Bilgisayar grafiği sahasında, çokgenlerden oluşan veri kümelerinin idaresi ve onların grafik sunumu (rendering) için kullanışlı yapılara bölünmesi için sık sık tesselasyon teknikleri kullanılır. Normalde, en azından gerçek zamanlı renderingde, görüntüyü oluşturan verilerin üçgenler halinde döşemsi yapılır, bu işleme bazen üçgenleme denir. Tesselasyon, bilgisayar grafikleme arayüzlerinden DirectX 11 ve OpenGL'nin temel özelliğidir.^[2]

Bilgisayar eşlikli tasarımda oluşturulan tasarım, bir sınır temsil topoloji modeli ile temsil edilir. Bunda, yüzey ve kenarlar ile sınırlandırılmış analitik üç boyutlu yüzey ve eğriler, 3 boyutlu bir cismin kesintisiz sınırını oluşturur. Herhangi bir 3 boyutlu cisim doğrudan analiz edilemeyecek kadar karmaşık olabilir. Bu cisimler, kolay analiz edilebilen küçük 3-boyutlu hacim elemanlarından oluşan bir ağ ile kaplanır, genelde bu ağ ya düzensiz tetrahedronlar veya düzensiz heksahedronlardan oluşur. Bu ağ, sonlu eleman analizi için kullanılır.

Bir yüzeyin ağı genelde teker teker yüzey ve kenarlardan oluşturulur, öyleki ki özgün cismin yüzeyindeki limit noktalar ağın parçası olur. Özgün yüzeyin bu ağ tarafından benzetilmesi, ağı oluşturan fonksiyonun üç parametresi tarafından belirlenir.

• Gerçek yüzey ile düzlemsel yaklaşıklık arasındaki en büyük uzaklık ("sarkma" tabir edilir). Bu parametre ağın özgün yüzeye yeterince benzemesini sağlar.
• Benzetme çokgeninin en büyük boyu. Bu parametre daha ayrıntılı analiz için yeterince detay kalmasını sağlar.
• İki benzetme çokgeni arasındaki en büyük düzlemsel açı. Bu parametre çok küçük tümsek veya oyukların ağ içinde kaybolmamasını saplar.

Bu parametreler ağ üreten algoritmaların işleyişini belirler. Bazı bilgisayar analizleri uyumsal (adaptif) ağlar gerektirir. Böyle durumlarda analizin gereksinimine göre ağ, yerel olarak daha detaylı hale getirilebilir.

Bazı jeodesik kubbeler, mümkün olduğunca eşkenarlı olan üçgenlerle bir kürenin yüzyeyini kaplayarak tasarlanır.

Doğada tesselasyonlar

Gün batımında mozaik kaldırım taşı biçiminde kayalar. Eaglehawk Neck, Tazmanya.

Bazaltik lav akıntıları katılaştıktan sonra çoğu zaman büzülme kuvvetlerinin etkisiyle sütunsal çatlak yaparlar. Meydana gelen yaygın çatlak ağı genelde altıgensel lav sütunlar oluşturur. Bunun bir örneği, Kuzey İrlanda'daki Giant's Causeway'deki sütün dizilimidir.

Tazmanya'daki mozaik kaldırım taşları, kayaçların dörtgen bloklar şeklinde çatlamış olduğu ender bir tortul kayaç oluşumudur.

Bir çokgenin kenarları ile bir köşede birleşen kenar sayısı arasındaki ilişki

Bu dikdörtgen tuğlaları bir araya getiren tesselasyon, kenar-kenara bir döşeme olarak değerlendirilirse, topolojik olarak altıgensel döşemeye eşittir Her altıgen yassılaştırılarak bir dörtgene dönüşmüştür, dörtgenin uzun kenarı iki komşu tuğla tarafından ikiye bölünmüştür.

Bu sepet örgüsü döşemesi topolojik olarak Kahire beşgensel döşemesine eşittir, her dörtgenin bir kenarı, iki komşu dörtgenin ortak köşesi tarafından bölünmüş iki kenar gibi sayılabilir..

Sonsuz bir tesselasyonda, $a$ bir çokgenin ortalama kenar sayısı olsun, $b$ bir noktada birleşen kenarların ortalama sayısı olsun. Öyleyse ${\displaystyle (a-2)(b-2)=4}$

Örneğin, düzgün çokgenlerin tesselasyonları maddesindeki tesselasyonlar için (a,b) ikilileri şunlardır: ${\displaystyle (3,6),(3{\tfrac {1}{3}},5),(3{\tfrac {3}{4}},4{\tfrac {2}{7}}),(4,4),(6,3)}$.

Bir kenarın bir köşeden öteye devam etmesi ayrı bir kenar olarak sayılır. Örneğin, resimdeki tuğlalar altıgen sayılırlar ve bu döşeme için (6, 3) birleşimini elde edilir. Benzer şekilde, banyo zeminlerinde sık görülen sepet örgüsü örüntüsü için ${\displaystyle (5,3{\tfrac {1}{3}})}$ değerleri kullanılır.

Kendini tekrar eden bir döşemede, tekrar eden kısım için ortalamalar kullanılabilir. Genelde, bu ortalamalar tüm düzleme yayılan bir bölgenin limit değeri olarak sayılır. Sonsuz bir karo dizisi, veya merkezden uzaklaştıkça küçülen karolar durumunda, tekrar eden şeklin "dışındaki" bölge ihmal edilemez ve limit hesaplamasında o da bir parke olarak sayılmalıdır. Bazı aşırı durumlarda limit değerler yoktur veya bölgenin sonsuza doğru nasıl genişletildiğine bağlıdır.

Sınırlı bir tessalasyon ve çokgenler için bu eşitlik vardır:

${\displaystyle (a-2)(b-2)=4\left(1-{\frac {\chi }{F}}\right)\left(1-{\frac {\chi }{V}}\right)}$

burada ${\displaystyle F}$ yüz sayısı, ve ${\displaystyle V}$ köşe sayısıdır, ${\displaystyle \chi }$ ise Euler karakteristik katsayısıdır (düzlemsel ve içi delik olmayan bir çokgen için bu sayı 2'dir). Düzlemden söz ederken birim şeklin "dışı" da bir yüz olarak sayılır.

Her yüzdeki kenarlar toplanınca elde edilen sayı tüm tesselasyondaki kenar sayısının iki katıdır, bu sayı yüz sayısı ve köşe sayısı cinsinden ifade edilebilir. Benzer şekilde, bir köşede birleşen kenarlar, tüm köşeler için toplanınca, toplam kenar sayısının iki katını verir. Bu iki sonuçtan kolaylıkla yukarıdaki formüle varılabilir.

Çoğu zaman bir yüzün kenar sayısı ile bir yüzün köşe sayısı aynıdır ve bir köşede birleşen kenar sayısı ile bir köşede birleşen yüz sayısı aynıdır. Ancak, sadece bir köşeden birbirine değen iki kare durumunda örneğin, dış yüzdeki kenar sayısı 8'dir, yani eğer köşe sayısı sayılacaksa ortak köşenin iki kere sayılması gerekir. Benzer şekilde, o köşede birleşen kenar sayısı 4'tür, dolayısıyla o köşede birleşen yüz sayısı iki kere sayılmalıdır.

İçi delik bir karonun başka karolarla doldurulmuş olması yukarıda verilen denklem için geçerli değildir çünkü dışarıdaki ve içerideki kenarların oluşturduğu kenar ağları birbirinden ayrıktır. Ancak, delikli karo kendi kendine dokunabilecek şekilde bir kesik olursa, yani "delik" ile dış kenarı birleştiren bir kenar olursa, denklem geçerlidir. Bu karonun kenar sayısını saymak için kesiğin iki kere sayılması gerekir.

Yukarıdaki denklemi düzlemi kaplayan şekiller yerine Platonik cisimleri oluşturan şekiller için uygulanırsa tam sayılar elde edilir çünkü eşit sayıların ortalaması alınmış olur: tetrahedron, küp ve dodekahedron için, sırasıyla ${\displaystyle (a-2)(b-2)}$ için 1,2 ve 3 değerleri elde edilir.

Sonlu bir çokyüzlü için denklem değerlendirince, sonsuz bir çokyüzlü olarak bunu genişletirken delik sayısının yüz ve köşe sayısı ile orantılı olarak arttığını ve ${\displaystyle (a-2)(b-2)}$ limitinin 4'ten büyük olduğunu görülebilir. Örneğin, küplerden oluşan, tek küp kalınlığında bir tabaka düşenelim; her 2 × 2 küpten bir tanesi çıkartılmış olsun, bu deliklerin her biri Euler karakteristik katsayısını -2 azaltır. Her delik için 10 yüz ve 8 kenar olduğu için, böylesi bir yüzey (4, 5) kombinasyonuna sahiptir, çünkü ${\displaystyle (a-2)(b-2)=6=4(1+2/10)(1+2/8)}$

Elde edilen sonuç, kenarların doğru parçaları olmasına, yüzlerin de düzlem parçaları olmasına bağlı değildir: kenarlar birer eğri ve yüzler de birer eğri yüzey olabilir (patolojik durumları çözmek için kullanılacak matematik sadeleştirmeleri saymazsak).

Başka uzaylarda tesselasyonlar

Bir küre yüzeyinin kesik ikozahedron ile kaplanması.

Bir simit, tekrarlayan bir izogonal dörtgen matrisi ile kaplanabilir.

M.C.Escher, Circle Limit III (1959)

İki boyutlu Öklid düzlemini döşemenin yanı sıra, başka n-boyutlu uzayları da n-boyutlu politoplarla doldurarak "döşemek" mümkündür. Başka uzayların tesselasyonları genelde petek olarak adlandırılır. Diğer uzayların tesselasyonlarına örnekler:

• n-boyutlu Öklid uzayının tesselasyonları. Örneğin, üç boyutlu Öklid uzayını küplerle doldurarak kübik petek oluşturmak.
• n-boyutlu eliptik uzayın tesselasyonu, ya n-küreyi (küresel döşeme, küresel çokyüzlü) veya n-boyutlu gerçek izdüşümsel uzayı (eliptik döşeme, izdüşümsel çokyüzlü).

Düzgün bir dodekahedronun ona dıştan teğet bir küre üzerindeki izdüşümü, iki boyutlu kürenin düzgün küresel beşgenlerden oluşan bir tesselasyonunu meydana getirir. Köşelerin çapucu (antipodal) haritasının (küredeki her haritayı kürenin karşı tarafındaki izdüşümünün) biğrleçimi ise yarı-dodekahedronu meydana getirir, bu izdüşümsel düzlemin bir döşemesidir.

• n-boyutlu hiperbolik uzayın tesselasyonları. Örneğin, M. C. Escher'in Circle Limit III eseri, Poincaré disk modelini kullanarak birbirine benzer, balık gibi şekiller ile hiperbolik düzlemin bir tesselasyonudur. Hiperbolik düzlem, eğer ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}<{\tfrac {1}{2}}}$ ise, p-kenarlı şekillerden q tanesinin birbirine değdiği bir tesselasyona izin verir. Circle Limit III, üçlüler halinde bir araya gelen sekizgenlerin bir döşemesi olarak anlaşılabilir, resimde kenarların her biri yerine pürüzlü çizgiler yer almaktadır ve her sekizgen dört balığa bölünmüştür.

Katmanlı bir uzay (manifold) döşemesine karşılık gelmeyen soyut çokyüzlüler de vardır, çünkü bunlar yerel olarak küresel değildir (yerel Öklitçi, katmanlı bir uzay gibi), örneğin 11-göze ve 57-göze. Bunlar daha genel uzayların düşemeleri olarak görülebilir.

Ayrıca bakınız

• Convex düzenli petek - 28 düzenli 3-boyutlu tessellasayonlar,
• Coxeter grupları - tesselasyon bulmak için kullnaılan cebirsel gruplar
• Dört renk teoremi
• Girih karoları
• Petek (geometri)
• yazboz
• Düzgün düzyüzlüler listesi
• Düzenli döşemeler listesi
• Matematik ve tekstil sanatı
• Mozaik
• Nikolas Schiller - hava fotoğraflarının tesselasynlarını kullanana sanatçı
• Penrose döçemeleri
• Rüzgar gülü dözemesi
• Poliamond - eşkenar üçgenler döşemeleri
• Poliomino
• Yorgancılık
• Öz üreme
• Karo
• Tiling puzzle
• Tiling, Aperiodic
• Düzgün çokgen döşemeleri
• Trianglepoint - needlepoint with polyiamonds (equilateral triangles)
• Üçgenleme
• düzenli tesselasyon
• Düzenli döşeme
• Hiperbolik düzlemde düzenli döşeme
• Voronoi tesselasyonu
• Duvarkağıdı grubu - 17 adet iki boyutlu tekrar eden örüntüler
• Wang karoları

Notlar

1. tessellate, Merriam-Webster Online
2. http://developer.amd.com/gpu_assets/AMD_vertex_shader_tessellator.pdf

Kaynaklar

• Grunbaum, Branko and G. C. Shephard. Tilings and Patterns. New York: W. H. Freeman & Co., 1987. ISBN 0-7167-1193-1.
• Coxeter, H.S.M.. Regular Polytopes, Section IV : Tessellations and Honeycombs. Dover, 1973. ISBN 0-486-61480-8.
• Magnus, Wilhelm (1974), Noneuclidean tesselations and their groups, Academic Press, ISBN 978-0-12465450-1 

Dış bağlantılar

• Interaktif Girih karoları
• Tesselasyon dersleri
• Döşeme ansiklopedisi
• Math Forum Tesselasyon dersleri
• M. C. Escher'in matematiksel sanatı - sanatta tesselasyon
• Düzlemi kaplayan 14 tip konveks beşgenler
• Tiling Plane & Fancy Southern Polytechnic State University
• Grotesque Geometry, Andrew Crompton
• Tessellations.org - sanatsal bakış açılı pek çok örnek ve ders
• Tessellation.info Sanatçı ve konuya göre kategorilendirilmiş 500 tesselasyonun veritabanı
• döşemeler ve tesselasyonlar
• Yarı düzenli bir örüntü - Bu örüntü göçen bir silindiri betimler
• Hyperbolik Tesselasyonlar, David E. Joyce, Clark University
• Bazı özel ışınsal ve spiral döşemeler