Karmaşık sayı

Matematikte karmaşık sayı, bir gerçel bir de sanal kısımdan oluşan bir nesnedir. a ve b sayıları gerçek olursa karmaşık sayılar şu biçimde gösterilirler:

${\displaystyle z=a+\mathbf {i} b\,}$

Genel olarak karmaşık sayılar için "z" harfi kullanılır. ${\displaystyle \mathbf {i} ^{2}=-1}$ özelliğini sağlayan sanal birime ${\displaystyle \mathbf {i} }$ denir. Kimi zaman özellikle elektrik mühendisliğinde ${\displaystyle \mathbf {i} }$ yerine, ${\displaystyle \mathbf {j} }$ kullanılır.

Ayrıca matematikte bu sayıların uzayı ${\displaystyle \mathbb {C} }$ olarak gösterilir. Bu harfin seçilmesinin nedeni İngilizce'de karmaşık sözcüğünün karşılığı olarak complex sözcüğünün kullanılmasıdır, nitekim bazı Türkçe kaynaklarda complex sözcüğünden devşirilen kompleks sözcüğüne de raslanabilir. Karmaşık sayılara böyle bir adın verilmesinin nedeni ise aşağıda da göreceğimiz gibi gerçel ve sanal kısımların bir arada durmasıdır.

Bütün gerçel sayılar sanal kısımları sıfıra eşit olan birer karmaşık sayı olarak düşünülebilir. Diğer bir deyişle gerçel sayılar, karmaşık sayı düzleminde gerçel sayılar ekseni üzerinde bulunurlar.

${\displaystyle z=a+\mathbf {i} \cdot 0\in \mathbb {R} }$

Bir z karmaşık sayısının gerçel ve sanal parçaları sırasıyla Re(z) ve Im(z) fonksiyonlarıyla gösterilir. Bütün bu tanımları ve özellikleri bir örnekte gösterelim. ${\displaystyle z=4-7\mathbf {i} }$ sayısı gerçel kısmı Re(4-7i)=4, sanal kısmı Im(4-7i)=-7 olan ${\displaystyle \mathbb {C} }$ uzayında bir karmaşık sayıdır.Bunun dışında karmaşık sayıların başka özellikleri de vardır. Örneğin bir karmaşık sayı düzlemde bir vektör olarak temsil edilebilir.

Tanım

Karmaşık sayılar kümesi birçok şekilde tanımlanabilir. Aşağıdaki tanımların hepsi birbirine eşyapısaldır, yani yapısal olarak biri diğerinin yerine kullanılabilir. Bu yüzden aslında içerik olarak farklı olan aşağıda tanımlanan tüm kümeleri aynı harfle gösterdik, ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Ayrıca bu simge, sadece karmaşık sayılar dediğimiz öğeleri içeren bir küme olmaktan ötedir, üzerine tanımlayacağımız iki tane ikili işlemi olan bir cisimdir. Üstelik bu cisim, gerçel sayıların en büyük cisim genişlemesidir, yani gerçel sayıları bundan daha fazla genişletemeyiz. Gerçel sayılarla karmaşık sayıların aynı kardinaliteye (öğe sayısına) sahip olduğunu da unutmayalım.

Kartezyen uzay tanımı

Gerçel sayılar kümesinde her sayıyı ${\displaystyle \mathbf {i} }$ ile çarparsak elde ettiğimiz ${\displaystyle \mathbf {i} \mathbb {R} }$ kümesi önceki ${\displaystyle \mathbb {R} }$ kümesine eşyapısaldır. Karmaşık sayılar cismi ise buradan hareketle

${\displaystyle \mathbb {C} \equiv \mathbb {R} \times \mathbf {i} \mathbb {R} \equiv \{\,(a,b)\,|\,a\in \mathbb {R} \,{\text{ve}}\,b\in \mathbf {i} \mathbb {R} \}}$

olarak tanımlanmış olur. Bu 2 boyutlu kartezyen uzay, Argand düzlemi olarak anılır. Eğer ${\displaystyle \mathbb {R} }$ yerine tamsayılar cismi $\mathbb{Z}$ alınırsa oluşan karmaşık tamsayılar Gauss düzlemindedir. Bu sayılara da Gauss sayıları denir.

Karmaşık sayılar, bu tanımla aşağıdaki gibi ifade edilir: ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ olmak üzere;

${\displaystyle z=(a,b)}$

Burada açıkça ${\displaystyle Re(z)=a}$ ve ${\displaystyle Im(z)=b}$ dir.

Cisim genişlemesi tanımı

Karmaşık olmayan sayılar, gerçel sayılar cisminin bir cisim genişlemesidir. ${\displaystyle \mathbf {i} }$ sayısı ${\displaystyle x^{2}+1}$ polinomunun köklerinden biridir ve diğer kökü de ${\displaystyle -\mathbf {i} }$ olur. Bu iki öğenin gerçel sayılarla olan genişlemesinin eşcyapısal olduğu kolaylıkla görülebilir:

${\displaystyle \mathbb {R} \left(\mathbf {i} \right)\equiv \mathbb {R} \left(-\mathbf {i} \right)}$

Bu durumda

${\displaystyle \mathbb {C} \equiv \mathbb {R} \left(\mathbf {i} \right)}$

olarak tanımlanır. Daha açık olarak, karmaşık sayılar gerçel sayılar polinom halkasının ${\displaystyle x^{2}+1}$ polinomuyla üretilen bölüm halkasıdır:

${\displaystyle \mathbb {C} \equiv \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)\equiv \{\,a+\mathbf {i} b\,|\,a,b\in \mathbb {R} \,\}}$

Bu bölüm halkasında X öğesinin görüntüsü ${\displaystyle \mathbf {i} }$ karmaşık birimidir. Bu sayede karmaşık sayılar halkası cebirsel olarak kapalı olur ki bu, gerçel sayıların cebirsel kapanışıdır. Cebirin temel teoremi bunu gerektirir, n dereceli her polinomun tam n kökü vardır. Biz, her karmaşık sayının ${\displaystyle a+\mathbf {i} b}$ olarak ifade edildiği bu tanıma daha âşinâyız.

Karmaşık düzlem

Şekil 1: Karmaşık bir düzlemde nokta (kırmızı) ve konum vektörü (mavi) ile çizilen karmaşık sayı; ${\displaystyle a+ib}$ (veya ${\displaystyle a+bi}$ olarak ta gösterilir) dikdörtgendir ve noktayı ifade eder.

Karmaşık sayı, iki boyutlu kartezyen koordinat sisteminde, nokta veya konum vektörü olarak gösterilebilir. Sayılar alışıla geldiği gibi yatay bileşen gerçel kısmı ve düşey (dikey) bileşende sanal kısmı olarak çizildi (Şekil 1'e bakınız). Bu iki kısım karmaşık bir sayıyı ifade etmek için kullanılır ve bu yüzden Kartezyen-, dikdörtgensel- veya cebirsel form olarak adlandırılır.

İşlemlerin geometriksel açıklaması

Cebirsel olarak ifade edilen işlemler yukarıdaki karmaşık düzlem kullanılarak gösterilebilir.

	X = A + B: Karmaşık düzlemdeki A ve B gibi iki noktanın 'toplamı, X = A + Bdir ve köşeleri 0,A, B olan bir üçgendir. X, B, A ile benzerdir. Bu iki karmaşık sayı, vektör uzayında aynı katkıya sahiptir.
	X = AB: A ve B gibi iki noktanın çarpımı X = ABdir ve köşeleri 0, 1, A olan bir üçgendir. 0, B, X benzer üçgenlerdir.
	X = A*: A noktasının Karmaşık eşleniği, X = A*dır ve köşeleri 0, 1, Adır. 0, 1, Xnin ayna görüntüsüdür.

Bu geometrik açıklamalar, cebirsek problemlerin geometriksel biçime dönüştürmeyi sağlar. Ve tam tersi de geçerlidir (geometriksel problemler, cebirsel olarak çözülebilir). Örneğin, geometriksel şekil olan onyedigen problemi, Gauss tarafından şu şekilde cebirsel denklem analizine dönüştürüldü:x¹⁷ = 1 (Çokgene bakınız).

${\displaystyle f(x)={\tfrac {(x^{2}-1)(x-2-i)^{2}}{x^{2}+2+2i}}}$
fonksiyonunun alan renklendirme çizimi. Ton, fonksiyon değişkenini ifade ederken, doygunluk ve canlılık miktarı ifade eder.

Kutupsal form

Şablon:Detail

Şekil 2: φ değişkeni ve r mutlak değeri, karmaşık düzlemdeki bir noktanın konumudur. Noktanın kutupsal ifadesi şöyledir: ${\displaystyle r(\cos \phi +i\sin \phi )}$ veya ${\displaystyle re^{i\phi }}$.

Diyagramlar çeşitli özellik gösteriler. Öncelikle Şekil 2'de r ile gösterilen orjin (merkez)den z noktasına olan uzaklık, mutlak değer olarak bilinir. Mutlak değer veya büyüklük ${\displaystyle |z|}$ olarak yazılır. Pisagor teoremine göre,

${\displaystyle |x+iy|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$

Karmaşık sayılar arasındaki uzaklık genellikle, ${\displaystyle d(z,w)=|z-w|}$ fonksiyonu ile gösterilir. Bu fonksiyon, karmaşık sayıların metrik uzayına dönüşüdür. Limit ve süreklilik hakkında fikir verir. İki boyutlu uzayın tüm standart özellikleri karmaşık sayılar için geçerlidir. (tüm z ve w için, ${\displaystyle |z+w|\leq |z|+|w|}$ ).

İkinci olarak, ${\displaystyle z=x+iy}$ şeklindeki karmaşık sayının argümanı veya fazı, reel eksenle yaptığı açıdır (Şekil 2'de φ olarak gösteriliyor) ve ${\displaystyle \arg(z)}$ olarak yazılır. Mutlak değer olarak, argüman dikdörtgensel formdan elde edilebilir ${\displaystyle x+iy}$:

${\displaystyle \varphi =\arctan {\frac {y}{x}}}$ veya ${\displaystyle \varphi =\pi +\arctan {\frac {y}{x}}}$ (${\displaystyle x<0}$ olduğunda π ekleyerek, ${\displaystyle x+iy=r(\cos \phi +i\sin \phi )}$ olur).

φ değeri, 2π'nin herhangi çarpanı olarak değiştirilebilir ve yine aynı açıyı verir (burada radyan kullanıldığına dikkat ediniz). Bundan dolayı, arg fonksiyonu bazen çok değerli olarak ifade edilir, Fakat çoğunlukla değer ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$ veya ${\displaystyle [0,2\pi )}$ aralığında seçilir (Bu asıl değerdir).

Karmaşık sayıların çeşitli formlarda gösterilebilir. Kutupsal form, bir düzlemdeki noktanın tam konumunu belirten mutlak değer ve argüman bileşenleri olarak gösterilebilir, şöyle ki; (r,φ) kutupsal çiftlerinden, özgün dikdörtgenin koordinatları olan ${\displaystyle (x,y)=(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )}$ elde edildi). Diğer gösterimi:

${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )\,}$

buna trigonometrik form denir ve bazen r cis φ olarak kısaltılır. Euler formülü kullanılarak şu şekilde gösterilebilir:

${\displaystyle z=re^{i\varphi },}$

buna da üstel form denir. Elektrik Mühendisliği'nde daha çok açısal gösterim kullanımı yaygındır. Bu gösterim, A genlikli ve θ fazına sahip fazörü ifade eder ve şu şekilde yazılır:

${\displaystyle A\angle \theta =Ae^{j\theta }.}$

Açısal gösterimde θ, hem radyan hem de derece olabilir. Elektrik akımını ifade eden i ile karıştırmamak için, Elektrik Mühendisliği'nde i yerine daha çok j kullanılır.

Kutupsal formdaki işlemler

Çarpma ve bölme kutupsal formda temel formüllere sahiptir:

${\displaystyle (r_{1}e^{i\varphi _{1}})\cdot (r_{2}e^{i\varphi _{2}})=r_{1}r_{2}e^{i(\varphi _{1}+\varphi _{2})}}$

ve

${\displaystyle {\frac {r_{1}\,e^{i\varphi _{1}}}{r_{2}\,e^{i\varphi _{2}}}}=\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)\,e^{i(\varphi _{1}-\varphi _{2})}.}$

Bu formda her iki çarpanın (eşitliklerin solundakiler) katsayıları çarpımın özelliğinden dolayı yan yana (çarpma işleminde) veya alt alta (bölme işleminde) getirilebilirler. Diğer yandan üslü sayıların kuralları gereği ifadeler aynı ise (burada ${\displaystyle e}$), bunlar aynı ifade altına alınırken çarpma işleminde üsler toplanır, bölme işleminde ise üsler çıkartılır.

Üs tam sayı ise şöyle gösterilir:

${\displaystyle (r(\cos \varphi +i\sin \varphi ))^{n}=r^{n}\,(\cos n\varphi +i\sin n\varphi ).}$

[De Moivre formülü

Sonuç olarak kutupsal formlar kökleri bulmak içinde kullanılabilir. z herhangi karmaşık sayı olmak üzere ve n pozitif tam sayı için zⁿ = c olarak gösterilebilir. Bu da cnin n. kökü diye okunur. Eğer c sıfır değilse, tam n tane farklı c nin kökü vardır (cebirin temel teoremine göre). r > 0 için, c = re ^iφ'de c nin n. kökleri:

${\displaystyle \left\{{\sqrt[{n}]{r}}\,e^{i\left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)}\mid k\in \{0,1,\ldots ,n-1\}\,\right\}}$

Burada ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}$, pozitif reel sayı olan r nin genellikle pozitif olan n. kökünü ifade eder. Eğer c = 0, ise c nin tek bir kökü vardır, o da 0'dır.

Karmaşık sayılarda işlem

Karmaşık sayılarda cebirsel işlemler gerçel sayıların genişlemesidir. Öncelikle iki karmaşık sayının eşitliğini verelim.

Eşitlik

Bir ${\displaystyle z=a+\mathbf {i} b}$ ve ${\displaystyle w=c+\mathbf {i} d}$ karmaşık sayıları için

${\displaystyle z=w}$ ancak ${\displaystyle a=c}$ ve ${\displaystyle b=d}$ iken geçerlidir.bu doğru bir kavramdır...

Toplama

Bir ${\displaystyle z=a+\mathbf {i} b}$ ve ${\displaystyle w=c+\mathbf {i} d}$ karmaşık sayıları için

${\displaystyle z+w=(a+\mathbf {i} b)+(c+\mathbf {i} d)=(a+c)+\mathbf {i} (b+d)\,}$

Çarpma

Bir ${\displaystyle z=a+\mathbf {i} b}$ ve ${\displaystyle w=c+\mathbf {i} d}$ karmaşık sayıları için

${\displaystyle zw=(a+\mathbf {i} b)(c+\mathbf {i} d)=ac-bd+\mathbf {i} (bc+ad)\,}$

Eşlenik

Bir karmaşık sayı ile eşleniğinin karmaşık uzaydaki gösterimi.

Bir ${\displaystyle z=a+\mathbf {i} b}$ karmaşık sayısı için eşlenik ifadesi ${\displaystyle \mathbf {i} \mapsto -\mathbf {i} }$ dönüşümüdür ve

${\displaystyle {\bar {z}}=a-\mathbf {i} b}$

ya da matrislerde

${\displaystyle {\bar {\mathbf {z} }}=\mathbf {z} ^{T}={\begin{bmatrix}a&b\\-b&\;\;a\end{bmatrix}}}$

olarak tanımlanır.

Eşleniğin cebirsel özellikleri

• ${\displaystyle {\overline {(z+w)}}={\overline {w}}+{\overline {z}}}$
• ${\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z}$
• ${\displaystyle {\overline {(zw)}}={\overline {w}}\cdot {\overline {z}}}$
• ${\displaystyle {\overline {(z/w)}}={\overline {z}}/{\overline {w}}}$
• ${\displaystyle {\overline {z}}=z}$ ancak z gerçel sayı olduğunda geçerlidir.

Çarpımsal ters

Bir ${\displaystyle z=a+\mathbf {i} b}$ karmaşık sayısının tersi ancak

${\displaystyle z^{-1}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}={a \over a^{2}+b^{2}}-\mathbf {i} {b \over a^{2}+b^{2}}}$

olarak ya da bir matrisin tersine uygun olarak

${\displaystyle \mathbf {z} ^{-1}={1 \over \det \mathbf {z} }{\begin{bmatrix}a&b\\-b&\;\;a\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{a \over a^{2}+b^{2}}&{b \over a^{2}+b^{2}}\\-{b \over a^{2}+b^{2}}&\;\;{a \over a^{2}+b^{2}}\end{bmatrix}}}$

olduğu görülür.

Karmaşık sayının karekökü

${\displaystyle {\sqrt {x+i.y}}=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[{\sqrt {x+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}+{\frac {i.y.\operatorname {sgn}(y)}{\sqrt {x+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}}\right]}$

burada ${\displaystyle \operatorname {sgn}(a)}$ İşaret fonksiyonudur.

Karmaşık sayının n dereceden kökü

Kök derecesi iki den büyük olan karmaşık sayıların genel denklemi uzundur. n sayısı artıkça genel denklemde uzar. Trigonometrik ve üstel biçim daha uygundur.

${\displaystyle n\geqslant 2}$ için tam sayı olmak üzere

Üstel biçim :

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x+i.y}}={\sqrt[{2n}]{x^{2}+y^{2}}}.e^{\frac {i.(\arctan({\frac {y}{x}})+2k.\pi )}{n}}}$

Trigonometrik biçim :

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x+i.y}}={\sqrt[{2n}]{x^{2}+y^{2}}}.\left\{\cos \left[{\frac {\arctan({\frac {y}{x}})+2k.\pi }{n}}\right]+i.\sin \left[{\frac {\arctan({\frac {y}{x}})+2k.\pi }{n}}\right]\right\}}$

${\displaystyle k=\left\{0,1,2,3,\dots ,n-1\right\}}$ kök derecesinin bir eksiği kadar sıfırdan başlayarak tam sayılar verilebilir. Bu da n dereceden alınan karmaşık sayının köklerini verir.

Ayrıca bakınız

• Karmaşık analiz
• Hiperbolik sayılar
• Çifte karmaşık sayılar (bicomplex numbers)
• Dörtlük sayılar (Quaternions)
• Sekizlik sayılar (Octonions)

Başvuru ve Kaynaklar

A. Mostowski and M. Stark, Introduction to Higher Algebra. Pergamon Press. New

York: 1964.

• Matematik Dünyası Dergisi, sayı 2005-II (Yaz), "Karmaşık Sayılar" konusu, sayfa 64-73.