Lorentz dönüşümlerinin türetimi

Modern fizik temel branşları içinde,yani genel görelilik ve yaygın olarak uygulanabilir altkümesi özel görelilik ve hem de göreli kuantum mekaniği ve göreli kuantum alan teorisi temel dallarında ,Lorentz dönüşümü kuralı altında uzay-zaman da tüm dört vektör'ler ve tensörler içeren fiziksel büyüklükleri'de dönüştürmektir . Bir partikül'ün bu dört vektörlerin önde gelen örnekleri dört momentum ve alan'lar dört pozisyon ve elektromanyetik tensör olan stres-enerji tensör'üdür.Lorentz dönüşümüne göre bu nesneleri dönüştürmek matematiksel olarak bunları vektörler ve tensörler olarak tanımlamaktır,bakıniz tensör . Dört vektörler veya tensörlerin bileşenleri bazı çerçeveler göz önüne alındığında "Dönüşüm kuralı" bir başka çerçeve içinde aynı dört vektörleri veya tensörlerin değişmiş unsurlarının belirlenmesi için izin verir bu orijinal çerçeveye göre hızını artırmış ya da başka bir çerçeve içinde hızlanmış olabilir . Bir "yükseltme " boşluk öteleme ile birleştirilmemelidir,çerçeveler arası daha çok bağıl hız ile karakterizedir.Dönüşüm kuralı çerçevelerin kendi göreli hareketine bağlıdır,basit durumda iki eylemsizlik çerçevesi arasındaki göreceli hız dönüşümü kuralı devreye girer.Dönen referans çerçevesi veya genel Eylemsiz referans çerçevesi için,daha fazla göreli hızı(büyüklüğü ve yönü) de dahil olmak üzere parametreye ihtiyaç vardır ,dönme ekseni ve açısı ile dönen çeşitli Lorentz dönüşümleri elde etmek için matematik'te temel cebir ve hiperbolik fonksiyon'lara,lineer cebir ve grup teorisine kadar yayılmış birçok yol vardır . Bu makalenin özel görelilik bağlamında takip edilmesi daha kolay olanlardan birkaçını sağlar,standart konfigürasyonda bir Lorentz boost'un en basit durumu için,yani ışık hızı'nın altında sabit(uniform)bağıl hız'la birbirlerine göre hareket eden iki eylemsizlik çerçevesi (üniforma) ve böylece kullanılan Kartezyen koordinatlar x ve x ' eksenleri eşdoğrusaldır.

Tarihsel

Genel süreç (örneğin,Einstein'ın özgün çalışması) ışık hızının değişmezliğine dayanmaktadır.Bununla birlikte,bu başlangıç ​​noktası belli değildir : söz konusu etkileşimlerin yeri demek ki bir parçacık etkisinden gerçekten ne bekleyebileceğinizi,diğerine giderek artan olarak anında iletilemeyeceğini varsayar: Bu nedenle,bilgi iletimi orada değişmez olmalıdır bir teorik olarak maksimum hız var,ve bu hız boşlukta ışık hızıyla çıkıyor.Fiziksel teorileri mevkiinde ihtiyacı zaten " felsefi saçma " bir mesafede bir eylem kavramını kabul eden Newton (Koestler'in Sleepwalkers bakınız) tarafından not edildi ve o bir ajanın bu yerçekiminin bazı fiziksel yasalarina uyacağına inanıyordu (örneğin, bir yıldızlararası eter benzeri tarafından aktarılır.) Michelson ve Morley 1887 yılında bir interferometreden ve eter akışını yeterince doğru tespit etmek için bir yarım gümüş ayna,kullanarak, bir deney tasarladı.Ayna sisteminin interferometresi içine ışık geri yansır. Bir eter sürüklenme olsaydı, bir faz kayması ve tespit olacağını girişim bir değişiklik üretecektir.Bununla birlikte, herhangi bir faz kayması bulunmamıştır.Michelson-Morley deneyinin olumsuz sonucu eter kavramını (veya kayması) zayıflattı.Bunun sonucunda şaşkınlıkla karşılanacak üzerinden herhangi bir saptanabilir orta, hafif açıkça dalga aktivitesini yayan bir dalga gibi davranan bir neden yoktu. 1964 deki yazıda,^[1] Erik Christopher Zeeman bu nedensellik için daha matematiksel anlamda ışık hızının değişmezliğini zayıf bir durumda özelliklerini korumak,Lorentz dönüşümleri koordinat dönüşümlerini sağlamak için yeterli olduğunu gösterdi

Fizik prensiplerinden

Eylemsizlik referans çerçevesi olarak(Standart yapılandırmada) her gözlemci tarafından ölçülen bir olayın uzay koordinatları, konuşma balonları gösterilir.
Top: frame F′ çerçevesi moves v hızıyla x-ekseni boyunca Fçerçevesinden taşınır.
Bottom: frame F çerçevesi −v hızıyla along the x′-ekseni boyunca F′ çerçevesinden taşınır.^[2]

Sorun genellikle birlikte bir hız kullanarak iki boyutu ile sınırlıdır x ekseni şekilde y ve z koordinatlarına müdahale yok.Aşağıdaki Einstein'ın benzerdir.^[3][4] Referans çerçeveleri göreli hız bir vektör olarak sabit olduğu için Galile dönüşümünde olduğu gibi, Lorentz dönüşümüde doğrusal, aksi halde, eylemsizlik kuvvetleri görünür. Buna eylemsizlik veya Galile referans çerçeveleri denir. Göreliliğe göre hiçbir Galile referans çerçevesi ayrıcalıklı değildir. Başka bir durum ışık hızı ışık kaynağının hızı uygulamada, referans çerçevesinden bağımsız olmasıdır.

Işığın küresel cepheleri

x-ekseninin pozitif yönünde sırasıyla O bir v hızıyla hareket eder O ' istirahatte olduğu varsayılarak,referans O ve O ′ iki eylemsizlik referans çerçevesi düşünün. O ve O' kökenleri başlangıçta birbirine denk. Bir ışık sinyali bir küresel dalga cepheleri gibi ortak orijinden seyahatle yayılır olsun. Bir küresel dalga cephesi üzerinde bir nokta P düşünün bir mesafe r ve r′ sırasıyla O ve O′ orijininde yer almaktadır. diye ikinci ışık hızı gibi özel görelilik teorisi'nin önermesine göre r ve r′ farklı ise t ve t′ sadece farklı olacak', çerçeve aynıdır

${\displaystyle {\begin{aligned}r&=ct\\r'&=ct'\end{aligned}}}$

O içinde olacak küresel dalga cephesi denklemi,

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}.}$

veya

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=c^{2}t^{2}.}$

benzer şekilde, küresel dalga cephesinin O' çerçevesinde olacak denklemi,

${\displaystyle x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}=r'^{2}.}$

veya

${\displaystyle x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}=c^{2}t'^{2}.}$

bu nedenle O' x ekseni boyunca birlikte hareket ediyor,çünkü,

${\displaystyle {\begin{aligned}y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}}$

Galile dönüşümü v ≪c için azaltmak gerekir x ve x' arasındaki ilişki doğrusal şeklinde olmalıdır ve Bu nedenle, böyle bir ilişkinin formu şu şekilde yazılabilir:

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=\gamma \left(x-vt\right)\\\end{aligned}}}$

γ, tespit edilecek olduğu mutlaka bir sabit değildir,tersi:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\gamma \left(x'+vt'\right)\\\end{aligned}}}$

Yukarıdaki iki denklem gibi t ve t 'arasındaki ilişkiyi verir:

${\displaystyle x=\gamma \left[\gamma \left(x-vt\right)+vt'\right]}$

veya

${\displaystyle t'=\gamma t+{\frac {\left(1-{\gamma ^{2}}\right)x}{\gamma v}}}$

x′, y′ ifadeleri yerine, x, y, z terimleri içinde z′ ve t′ ve küresel dalga cephesi içindeki t O′ nun denklemi çerçevemiz,

${\displaystyle x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}=c^{2}t'^{2}}$

veya

${\displaystyle {\gamma ^{2}}\left(x-vt\right)^{2}+y^{2}+z^{2}=c^{2}\left[\gamma t+{\frac {\left(1-{\gamma ^{2}}\right)x}{\gamma v}}\right]^{2}}$

ve bu yüzden,

${\displaystyle \gamma ^{2}x^{2}+\gamma ^{2}v^{2}t^{2}-2\gamma ^{2}vtx+y^{2}+z^{2}=c^{2}{\gamma ^{2}}t^{2}+{\frac {\left(1-{\gamma ^{2}}\right)^{2}c^{2}x^{2}}{{\gamma ^{2}}v^{2}}}+2{\frac {\left(1-{\gamma ^{2}}\right)txc^{2}}{v}}}$

anlamına gelen,

${\displaystyle \left[{\gamma ^{2}}-{\frac {\left(1-{\gamma ^{2}}\right)^{2}c^{2}}{{\gamma ^{2}}v^{2}}}\right]x^{2}-2{\gamma ^{2}}vtx+y^{2}+z^{2}=\left(c^{2}{\gamma ^{2}}-v^{2}{\gamma ^{2}}\right)t^{2}+2{\frac {\left(1-{\gamma ^{2}}\right)txc^{2}}{v}}}$

katsayılarını karşılaştırırken t² yukardaki denklemden ile küresel dalga cephesi O nun denklemi Biz verim çerçeve,

${\displaystyle c^{2}{\gamma ^{2}}-v^{2}{\gamma ^{2}}=c^{2}}$

veya

${\displaystyle {\gamma }={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

Lorentz faktörü denir.böylece Lorentz dönüşümü yukarıdaki ifade ile verilir

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=\gamma \left(x-vt\right)\\t'&=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}}$

Galilean ve Einstein'ın göreliliği

Galile referans çerçevesi klasik mekanikte, x ın toplam yer değiştirmesi R çerçevesi içinde R′ çerçevesinde x′ göreceli yerdeğiştirmesinin ve x − x′ iki orijin arası mesafenin toplamıdır. Eğer v R′nin hızı R'ye göreceli ise, dönüşüm x = x′ + vtdir, veya x′ = x − vt. Bu ilişkililik bir sabit v doğrusaldır, bu ise R ve R′ ise Galile eylemsizlik çerçeveleridir.

Einstein'ın göreliligi ile Galile göreliligi arasındaki temel fark mekan ve zaman koordinatları iç içe olmasıdır, ve farklı eylemsiz sistemler içindet ≠ t′.

Boşlugun homojen olduğu varsayıldığından, dönüşüm doğrusal olmalıdır. En genel doğrusal bir ilişki dört sabit katsayılı elde edilir, A, B, γ,ve b:

${\displaystyle x'=\gamma x+bt\,}$

${\displaystyle t'=Ax+Bt.\,}$

Galile dönüşümü Lorentz dönüşümü olursa γ = B = 1, b = −v ve A = 0.

İstirahat pozisyonundaki R' çerçeve içindeki bir nesne R çerçeveye x′ = 0 sabit hız v ile hareket eder.Bu nedenle x = vt ise dönüşümün x′ = 0 vermesi gerekir.Bu nedenle, b = −γv ve ilk denklem olarak yazılır :${\displaystyle x'=\gamma (x-vt)\,.}$

göreliliğin prensipleri

Göreliliğin prensiplerine göre, burada Galile çerçevesinin referans önceliği yoktur: Çerçeveden pozisyon için bu nedenle ters dönüşüm R 'için R çerçevesi orijinal olarak aynı form olmalıdır. bunun avantajı,biz bu eksen ters çevirerek düzenlemekR′ görür R pozitif bir x′ yönünde hareket (yani sadece R görür R′ pozitif bir xyönünde hareket ),bu yüzden yazabilirsiniz

${\displaystyle -x=\gamma \left(-x'-vt'\right)}$

tarafından ,−1 ile çarpıldigindan

${\displaystyle x=\gamma \left(x'+vt'\right).}$

Işık hızı (bir) sabittir Işık hızı tüm referans çerçevelerinde aynı olduğu, t = x/c ve t′ = x′/c dönüşümü garanti olmalıdır.

t ve t' bir önceki denklemlerde yerine konursa

${\displaystyle x'=\gamma \left(1-v/c\right)x,}$

${\displaystyle x=\gamma \left(1+v/c\right)x'.}$

Bu iki denklem çarpma ile verilir,

${\displaystyle xx'=\gamma ^{2}\left(1-v^{2}/c^{2}\right)xx'.}$

herhangi bir zaman t = t′ = 0, xx′ sıfır değildir, xx 'eşitliğinin her iki tarafının bölünmesi sonuçları

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},}$

Bu "Lorentz faktörü" olarak adlandırılır.

zamanın dönüşümü

bir ışık sinyalinin özel bir durum dikkate alınarak elde edilebilir,Zaman için dönüşüm denklemi kolay ve doyurucudur,

${\displaystyle {\begin{cases}x'=ct'\\x=ct.\end{cases}}}$

Uzaysal koordinat için daha önce elde edilmiş denklemin içindeki terim tarafından terimin ikame edilmesi

${\displaystyle x'=\gamma (x-vt),\,}$

verilirse

${\displaystyle ct'=\gamma \left(ct-{\frac {v}{c}}x\right),}$

böylece

${\displaystyle t'=\gamma \left(t-{\frac {v}{c^{2}}}x\right),}$

Dönüşüm katsayılarını A ve B olarak belirler

${\displaystyle A=-\gamma v/c^{2},\,}$

${\displaystyle B=\gamma .\,}$

Böylece A ve B koordinatlarının astarlanmalı sisteminde Işığın hızının sabitliği korumak için gerekli benzersiz katsayılarıdır. |}

Einstein'ın popüler türevleri

O popüler kitabında^[3] Einstein türevi Lorentz dönüşümü ve iki sıfır olmayan birleşme sabiti λ ve μ gerektiğini savunarak

${\displaystyle {\begin{cases}x'-ct'=\lambda \left(x-ct\right)\\x'+ct'=\mu \left(x+ct\right)\,\end{cases}}}$

bu, sırasıyla, pozitif ve negatif x-ekseni boyunca hareket eden ışığa karşılık gelir. ışık için x = ct ancak ve ancak x′ = ct′. iki denklemin ekleme ve çıkarma ile tanımlanması

${\displaystyle {\begin{cases}\gamma =\left(\lambda +\mu \right)/2\\b=\left(\lambda -\mu \right)/2,\,\end{cases}}}$

sonucunu verir:

${\displaystyle {\begin{cases}x'=\gamma x-bct\\ct'=\gamma ct-bx.\,\end{cases}}}$

x′ = 0 yerine x = vt ye karşılık gelir ve bağıl hız olduğu belirtilerek v = bc/γ şu sonucu verir

${\displaystyle {\begin{cases}x'=\gamma \left(x-vt\right)\\t'=\gamma \left(t-{\frac {v}{c^{2}}}x\right)\,\end{cases}}}$

Daha önce yukarıda gösterildiği gibi γ sabiti değerlendirilebilir.

Lorentz dönüşümlerinin türevleri özel görelilik postulatları'nın uygulamaları ve hiperbolik özdeşliği tarafından kullanılabilir.^[5] Bu, bir yönde bir boost için,genellemeler yukarda belirtildigi gibi sonucu elde etmeye yeterli keyfi bir yön için konum vektörü ve sonra asagida paralel ve dik bileşenlerine ayrışma yapılabilir

Hiperbolik geometri

Sabit bir hızla parçacığın seyahat - (düz dünya çizgisi'nin zamanla çakışık t 'eksen).

Görelilik önermeleri

orijin merkezli, ışığın bir darbe küresel ön dalgasının denklemleri ile başlayalim;

özel görelilik önermelerinin her iki çerçevelerin aynı form alması nedeniyle çerçeveler:

${\displaystyle (ct)^{2}-(x^{2}+y^{2}+z^{2})=(ct')^{2}-(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})=0}$

Daha sonra, x-eksenli her çerçevenin,göreceli hareketini düşünebilirsiniz.Yukarıdaki standart yapılandırma ile birlikte y = y′, z = z′ basitleştirilirse

${\displaystyle (ct)^{2}-x^{2}=(ct')^{2}-x'^{2}}$

Doğrusallık

Şimdi dönüşümleri doğrusal şeklinde varsayalım:

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=Ax+Bct\\ct'&=Cx+Dct\end{aligned}}}$

burada A, B, C, D bulunuyor. Eğer doğrusal değilse, gözlemciler için hepsi aynı şeklinde olmaz, kurgusal güc nedeniyle (bu nedenle ivme) hızının, eylemsizlik çerçevesi dönüşümleri ile tutarsız olan başka bir sabit olsa bile tek bir çerçeve içinde ortaya çıkabilecek,.^[6]

Önceki sonucun içinde yerine konursa:

${\displaystyle (ct)^{2}-x^{2}=[(Cx)^{2}+(Dct)^{2}+2CDcxt]-[(Ax)^{2}+(Bct)^{2}+2ABcxt]}$

ve x², t², xtnın katsayıları ile karşılaştırmada :

${\displaystyle {\begin{aligned}-1=C^{2}-A^{2}&\Rightarrow &A^{2}-C^{2}=1\\c^{2}=(Dc)^{2}-(Bc)^{2}&\Rightarrow &D^{2}-B^{2}=1\\2CDc-2ABc=0&\Rightarrow &AB=CD\end{aligned}}}$

hiperbolik dönme

Formüllerin hiperbolik özdeşlikleri benzerdir

${\displaystyle \cosh ^{2}\phi -\sinh ^{2}\phi =1}$

ϕ Hız parametresi Tanıtımı parametrik bir hiperbolik açı kendi içinde tutarlı özdeşlik verir gibi görülüyor:

${\displaystyle A=D=\cosh \phi \,,\quad C=B=-\sinh \phi }$

burada karekök sonrası işaretler ve böylece x ve t artışı olarak seçilir.Hiperbolik dönüşümler için çözülmüş sekli:

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=\cosh \phi x-\sinh \phi ct\\ct'&=-\sinh \phi x+\cosh \phi ct\end{aligned}}}$

−x ve/veya −t tarafından işaretler farklı seçilmiş olsaydı konum ve zaman koordinatlarının değiştirilmesi gerekirdi böylece x ve t artışla azalmaz .

ϕ'nin aslında ne olduğunu bulmak için,standart konfigürasyondan astarlanmış çerçevenin orijini x′ = 0 için astarlanmamış çerçeve içinde ölçülür x = vt (veya eşdeğer ve ters bir şekilde turu, astarsız çerçevenin orijin x = 0 dır ve astarlanmış çerçeveye o x′ = −vt olur):

${\displaystyle 0=\cosh \phi vt-\sinh \phi ct\,\Rightarrow \,\tanh \phi ={\frac {v}{c}}=\beta }$

ve hiperbolik özdeşlikler'in devşirilmesi şuna yol açar

${\displaystyle \cosh \phi =\gamma ,\,\sinh \phi =\beta \gamma }$

böylece dönüşümleri de vardır:

${\displaystyle {\begin{aligned}x'=\gamma x-{\frac {\gamma v}{c}}ct&\Rightarrow &x'=\gamma (x-vt)\\ct'=-{\frac {\gamma v}{c}}x+\gamma ct&\Rightarrow &t'=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

Grup postulatlarından

bir klasik türev (bkz, e.g., ve referanslar burada) taban gurup önermeleri ve uzayının izotropisi.

Bir grup olarak koordinat dönüşümleri

Eylemsiz sistemler arasındaki koordinat dönüşümleri oluşturan bir grubu ( denilen uygun Lorentz grubu denilen) dönüşümleri bileşimi ( birbiri ardına dönüşüm performansı ) olan grup operasyon. Gerçekten de dört grup aksiyomları tatmin edici :

1. Kapatma: iki dönüşümün bileşimi bir dönüşümdür :eylemsizlik çerçeveden dönüşümler kompozisyonu dikkate alındığında K eylemsizlik çerçevesinden K′eylemsizlik çerçevesine,( K →K olarak ifade edilir ) , ve ardından gelen K ' den ise eylemsiz çerçeveye K 'ye [K′ → K′′] bir dönüşüm var, [K → K′][K′ → K′′], doğrudan K bir eylemsiz çerçeveden K′′ eylemsiz çerçeveye olmuş olur.
2. Birleşim:( ([K → K′][K′ → K′′])[K′′ → K′′′]ve [K → K′]([K′ → K′′][K′′ → K′′′]) aynıdır , K → K′′′.
3. özdeş elemanı : bir kimlik unsuru,bir dönüşüm var K → K.
4. Ters elemanı : Herhangi bir dönüşüm için K → K′ ters bir dönüşüm var K′ → K

Grup aksiyomları ile tutarlı dönüşüm matrisleri

iki eylemsiz çerçeve düşünelim,K ve x′, v hız ile sonraki hareket eden formu ile ilgili. Rotasyonlar ve kaymalar ile biz x ve x′ göreceli hız vektörü boyunca eksenleri ve aynı zamanda olayları (t,x) = (0, 0) seçebilirsiniz ve (t′, x′) = (0, 0) örtüşmektedir.x (ve x) boyunca olduğu hızı artırmak x (ve x) eksen hiçbir şey dik koordinatları olur ve biz sadece kısalık için onları atlayabiliriz. Biz sonra Aradığınız dönüşüm iki eylemsiz bağlayan Şimdi bu yana, (t,x) (doğrusal bir hareket içine (t,x) koordinatları bir doğrusal hareket dönüştürmek için vardır.Bu nedenle, bir lineer transformasyon olmalıdır.Bir lineer dönüşümün genel formudur.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t'\\x'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &\delta \\\beta &\alpha \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t\\x\end{bmatrix}},}$

burada α, β, γ, ve δ v bağıl hızı henüz bilinmeyen bazı fonksiyonlarındır

Şimdi çerçevenin orijin hareketini ele alalım K′. In the K′ çerçevesi içinde koordinatlar (t′, x′ = 0) idi, K çerçevesi içinde (t, x = vt) koordinatlarıdır.Bu iki nokta dönüşümü ile birbirine bağlanmıştır

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t'\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &\delta \\\beta &\alpha \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t\\vt\end{bmatrix}},}$

dan şunu verebiliriz

${\displaystyle \beta =-v\alpha \,}$.

Benzer şekilde, K orijinli çerçevesinin hareketi göz önünde bulundurularak,elde ederiz

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t'\\-vt'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &\delta \\\beta &\alpha \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t\\0\end{bmatrix}},}$

şunu elde ederiz

${\displaystyle \beta =-v\gamma \,}$.

Bu ikisi birleştirilerek verilir α = γ ve dönüşüm matrisi basitleştirdi,,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t'\\x'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &\delta \\-v\gamma &\gamma \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t\\x\end{bmatrix}}.}$

Şimdi grup ters elemanı önerme düşünelim. Biz K' koordinat sisteminden K koordinat sistemine İşte iki yolu vardır. ilk olarak K' koordinatlar dönüşümü matrisin tersinin uygulanmasıdır:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t\\x\end{bmatrix}}={\frac {1}{\gamma ^{2}+v\delta \gamma }}{\begin{bmatrix}\gamma &-\delta \\v\gamma &\gamma \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t'\\x'\end{bmatrix}}.}$

K koordinat sistemine göre İkincisi K koordinat sistemi bir v hızla ilerliyor , bir K koordinat sistemine göre K koordinat sisteminde bir -v hızda hareket gerektiğini düşünüyor,"v ile -v değiştirilmesi dönüşüm matris verir:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t\\x\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma (-v)&\delta (-v)\\v\gamma (-v)&\gamma (-v)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t'\\x'\end{bmatrix}},}$

Şimdi fonksiyon γ yönünde bağlı olamaz v görünüşe göre göreceli daralma ve zaman genişlemesi tanımlayan bir faktördür çünkü.Bu iki (bizim bir izotropik dünyamız içinde) v yönünde bağlı olamaz.Böylece, γ(−v) = γ(v)ve iki karşılaştırma matrisi,şunu verir

${\displaystyle \gamma ^{2}+v\delta \gamma =1.\,}$

iki koordinat dönüşümlerinin grup önermesinin bir bileşimi kapatmaya göre aynı zamanda bir koordinat dönüşümüdür,böylece bizim matrislerin iki çarpımıda aynı form bir matris olmalıdır.Dönüşüm K ya K′ ve K′ dan K′′ ya aşağıda dönüüm matrisinde K dan K′′ ya gider:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}t''\\x''\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\gamma (v')&\delta (v')\\-v'\gamma (v')&\gamma (v')\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\gamma (v)&\delta (v)\\-v\gamma (v)&\gamma (v)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t\\x\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\gamma (v')\gamma (v)-v\delta (v')\gamma (v)&\gamma (v')\delta (v)+\delta (v')\gamma (v)\\-(v'+v)\gamma (v')\gamma (v)&-v'\gamma (v')\delta (v)+\gamma (v')\gamma (v)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t\\z\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

Orijinal dönüşüm matrisi, ana çapraz öğeleri her ikisi γ eşittir, bu nedenle, orijinal dönüşüm matrisi ile aynı şekilde olması için, yukarıdaki birleşik dönüşüm matrisi, ana çapraz elemanlar da eşit olması gereklidir. Bu unsurlar denk ve yeniden düzenlenerek verilir:

${\displaystyle \gamma (v')\gamma (v)-v\delta (v')\gamma (v)=-v'\gamma (v')\delta (v)+\gamma (v')\gamma (v)\,}$

${\displaystyle v\delta (v')\gamma (v)=v'\gamma (v')\delta (v)\,}$

${\displaystyle {\frac {\delta (v)}{v\gamma (v)}}={\frac {\delta (v')}{v'\gamma (v')}}.\,}$

Payda sıfır için sıfır olmayan v için sıfır olmayacak,çünkü γ(v) her zaman sıfırdan farklı ;

${\displaystyle \gamma ^{2}+v\delta \gamma =1}$.

Eğer v = 0 bizim koyacak denk birim matrisimiz varsa v = 0 matris içinde biz diğer değerleri için sonunda bu v türevler elde , Tüm negatif olmayan için son matrisi v geçerli hale gelir .

v sıfır olmayan için, fonksiyonun kombinasyonu bir evrensel sabit olmalı, Tüm eylemsiz sistemler için bir ve aynı. bu sabit olarak δ(v)/vγ(v) = κ,burada κ 1/v²'nin boyutu idi . çözümü

${\displaystyle 1=\gamma ^{2}+v\delta \gamma =\gamma ^{2}(1+\kappa v^{2})\,}$

sonunda elde edilir

${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1+\kappa v^{2}}}}$

ve bu grup aksiyomlarıyla uyumlu dönüşüm matrisi, ile verilir

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t'\\x'\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {1+\kappa v^{2}}}}{\begin{bmatrix}1&\kappa v\\-v&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t\\x\end{bmatrix}}.}$

Eğer κ > 0, ise burada (κv² ≫ 1 ile) dönüşümleri olacaktır zaman dönüşümü içinde bir boşluk koordinatları ve tersi.fiziksel gerekçesiyle hariç,çünkü zaman sadece pozitif yönde çalışabilir. Grup önermeleri ile Böylece dönüşüm matrisleri iki tür uyumludur Şablon:Ordered list

Galilean dönüşümeri

Eğer κ = 0 ise verilen Galilean-Newtonian mekanik ile Galile dönüşümleri,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t'\\x'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\-v&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t\\x\end{bmatrix}}\;,}$

burada zaman mutlaktır t′ = t, ve iki eylemsiz çerçevenin göreceli hızı v sınırsız değildir.

Lorentz dönüşümleri

Eğer κ < 0, ise c = 1/√(−κ) kümemiz bu değişmez hızı alır,boşluk içindeki ışık hızıdır. Bu değer κ = −1/c² ve böylece biz Lorentz dönüşümü ile özel görelilik alabilirsiniz

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t'\\x'\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {1-{v^{2} \over c^{2}}}}}{\begin{bmatrix}1&{-v \over c^{2}}\\-v&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t\\x\end{bmatrix}}\;,}$

ışığın bağıl hızının mümkün olan en yüksek hız olarak belirlenmesi eylemsizler arasında sonlu bir evrensel bir sabittir.

Eğer v ≪ c ise Galile dönüşüm Lorentz dönüşümü için iyi bir yaklaşım olduğunu iki olasılık sadece deney soruya cevap olabilir , κ = 0 or κ < 0, dünyamızda gerçekleştirilmiştir. Işık hızı ölçüm deneyleri, ilk Danimarkalı bir fizikçi tarafından gerçekleştirildi Ole Rømer, bu sonlu ve Michelson-Morley deneyi ışığın mutlak bir hız olduğunu gösterdi ve böylece κ <0 olduğunu göstermektedir.

Ayrıca bakınız

• Jirovektör uzay
• Spinör
• Uygun zaman
• Göreli metrik
• Noether teoremi
• Lorentz grubu
• Poincaré grubu

Kaynakça

1. Zeeman, Erik Christopher (1964), "Causality implies the Lorentz group", Journal of Mathematical Physics 5 (4): 490–493, Bibcode 1964JMP.....5..490Z, DOI:10.1063/1.1704140 
2. University Physics – With Modern Physics (12th Edition), H.D. Young, R.A. Freedman (Original edition), Addison-Wesley (Pearson International), 1st Edition: 1949, 12th Edition: 2008, ISBN (10-) 0-321-50130-6, ISBN (13-) 978-0-321-50130-1
3. Einstein, Albert (1916). "Relativity: The Special and General Theory" (PDF). 23 Haziran 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi. http://web.archive.org/web/20150623133858/http://www.archive.org:80/stream/cu31924011804774. Erişim tarihi: 2012-01-23. 
4. Stauffer, Dietrich; Stanley, Harry Eugene (1995). From Newton to Mandelbrot: A Primer in Theoretical Physics (2nd enlarged bas.). Springer-Verlag. s. 80,81. ISBN 978-3-540-59191-7. http://books.google.com/books?id=o8rvAAAAMAAJ. 
5. Relativity DeMystified, D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2006, ISBN 0-07-145545-0
6. An Introduction to Mechanics, D. Kleppner, R.J. Kolenkow, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-19821-9